進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年01月25日

中学数学から高校数学の計算のはざま

中学数学から高校数学の計算へ

前回、「数学が苦手な原因はどこにある？」で、「計算そのものが苦手なのか。計算そのものというのは、もちろん算数や中学数学にふくまれる計算もですが、高校数学にはさらに高度な計算能力が要求される」と述べましたが、この具体的な例を１つ挙げてみます。
次のような問題です。

これは中学．高校どちらの計算？

数Ⅱの初めに習う分数式の計算です。別に難しい問題ではありませんが、ここで要求される中学数学の計算能力を分析し、なぜこの問題が出来ないか、いわば中学数学と高校数学のはざまを考えてみたいと思います。

まず、こういったタイプの分数式の計算は中学ではやりませんので、初めてやった時は問題の意味が分からないのは当たり前でしょう。これは計算能力とは関係ありません。「計算せよ」とあるのは、「１や０などの具体的な数値、あるいはｘやｙの文字の入ったままでも出来るだけ簡単な形にせよ」ということですね。
次に、「じゃあどうやって簡単にするの」という疑問がわくわけですが、ふつうの数だけの分数計算と同じように約分を利用して計算していくわけです。ふつうの数だけの分数計算とちがうところは、たとえば、分子と分母に「ｘ ＋ｙ 」という同じ多項式があれば、この多項式で約分できるわけです。そして、ｘやｙなどの単項式や多項式で約分できるように、分子や分母を可能な限り因数分解するわけです。

因数分解が出来るという前提であっても、もう１つのハードルが待っています。たとえば、ここまではいいのですが、

分母がｘ－ｙ、ｙ－ｘと逆になっているのでｘ－ｙにそろえようとするわけですね。ｙ－ｘ＝－（ｘ－ｙ）と「－」をつけて、さてそれからどうしよう？　中には、たとえば、多項式－ｘ＋ｙ－ｚ＝０はｘ－ｙ＋ｚ＝０と同じであることがあやふやでつまずいてしまうケースもあるかもしれません。多項式全体の＋－の符号を変えなければならないという発想がないんですね。以下、まちがえるパターンをいくつか挙げてみます。

分母のｙ（ｙ－ｘ）＝－ｙ（ｘ－ｙ）は正しいのですが、分子のｘが－ｘになってます。分数という１つの数の符号を変えないためには、分母、分子とも符号を変えなくてはならないのですが、分母の符号が変わっていないということに気づいていないあやまりのパターンです。

ｙ－ｘをｘ－ｙに、ｘを－ｘにしているところまではいいんですが、ここで行き詰まって（頭がこんがらがって）なんとなくじゃまな－ｘをｘにしてしまったパターンですかね。

これは答えが合っているのですが、まちがいを２回くり返してたまたま答えが合っちゃったというパターンです(‥;)。答えが合えばいいというわけではありませんので、上の２つの場合より先がこわいかも。

１つの数としての分数の符号と演算記号で？

分数式の計算では、分母分子が多項式になり、その多項式を因数分解し、そして分数自体のプラスマイナスの符号を考え、さらに演算記号のプラスマイナスの符号との関係を考えなくてはならないわけです。でも、これは高校数学の考え方だというわけではありませんね。上に挙げたようなまちがいをすると、その先の計算がすべてムダになってしまいます。もっと言えば、自覚のないままこのような計算をくり返していると、まちがう訓練をしていることにもなりかねません。要注意ですね。

高校数学の分数式の計算

念のため、演算記号がプラスとマイナスの場合の２とおりの分数式の計算方法を記しておきます。【問題２】の方は、これ以上簡単には出来ません。因数分解に限らず、これ以上簡単にできるかできないかを判断する能力が中学数学よりも強く求められます。

投稿者 寝太郎 : 10:40 | コメント (0) | トラックバック(1)

2007年01月23日

食塩水の問題を逆比で解こう

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

前回は「平均算を逆比の考え方で解く」ということで「逆比」を考えました。今回は「食塩水の濃さの問題を逆比の考え方で解く」です。
「食塩水の濃（こ）さ＝濃度（のうど）の問題」は、小中学生の皆さんにとってとてもいやな問題、いや、大きらいだという人も少なくないでしょう。高校数学をやるようになっても、不等式などで食塩水の問題が出てくることもありますね。逃げられません？

なぜ苦手になるかというと、「割合」そのものが苦手だ、「食塩水の濃度の表し方」かよくわからないから、それが算数の問題であれ、数学の方程式や不等式で解く問題であれ、その解法が思いつかなくなるわけです。
そこで、「食塩水の問題を逆比で解く」前に、食塩水の濃度の表し方について簡単に触れておきましょう。

食塩水の濃さって？

「１００ｇの水に２０ｇの食塩を溶かすと、何％の濃さの食塩水ができますか。」という問題に、皆さんはどう答えますか。そんなの２０％に決まってるじゃない、というまちがいが多いんですね。
食塩水の濃さというのは、水の重さをもとにするのではなく、食塩水の重さ（水の重さ＋食塩の重さ）で表すことになっています。したがって、
２０÷（１００＋２０）＝０.１６６６…で、約１６.７％（約１６％）。食塩を水に溶かしてもかさはほとんど増えませんから、つい水の重さで考えてしまうのかもしれませんね。ついでに、算数や理科では割り切れない場合は、％の小数第１位まで四捨五入で求めるのがふつうです。それともう１つ。理科の問題ではありませんので、溶解度というのは考えません。食塩水の問題に限りませんか、理解しにくい単元はだれにとってもそれだけ練習を積む必要があるということですね。
・食塩水の濃さ（％）＝食塩の重さ÷食塩水の重さ×１００

食塩水の濃度を濃くするには？

食塩水の問題では濃度を濃くしたりうすくしたりすることを考えます。逆比の解法を考える前に、濃度を濃くする方法を復習をかねて３通り考えてみることにします。

・その１：水を蒸発させて食塩水の濃度を濃くする

１０％の濃さの食塩水が３００ｇあります。この食塩水を１２％の濃さにするためには水を何ｇ蒸発させればよいですか。

「濃さが変わっても食塩の量（重さ）は変わらない」ことに着目する問題です。
３００×０１＝３０（ｇ）…食塩の重さ。この食塩の重さが蒸発させてできた食塩水の１２％に当たることになる。３０÷０.１２＝２５０（ｇ）。３００－２５０＝５０（ｇ）…蒸発させた水の量。

・その２：食塩を加えて食塩水の濃度を濃くする

１０％の濃さの食塩水が１００ｇあります。これに食塩を加えて２５％の濃さにするためには食塩を何ｇ加えればよいですか。

図はありません(-_-;)。「濃さが変わっても水の量（重さ）は変わらない」ことに着目する問題です。
１００×（１－０.１）＝９０（ｇ）…水の重さ。この水の重さが食塩を加えてできた食塩水の７５％（１００％－２５％）に当たることになる。９０÷０.７５＝１２０（ｇ）。１２０－１００＝２０（ｇ）…加えた食塩の量。

食塩水の問題を逆比で解く

さて、「食塩水の問題を逆比で解く」問題を。今度は、濃さが変わって食塩の量も水の量も変わってしまう(‥;)問題です。「逆比で解く」というのがテーマですので、まず逆比で解いてみます。

中学数学では、１５％の食塩水をxｇ加えるとして方程式で解くのでふつうの問題かもしれませんが、初めてこういった問題を算数で解くのは難しいかもしれません。でも、受験レベルの算数の食塩水の問題では易しい方かも(‥;)。

「１２％の濃さ」いう時のもととなる食塩水の重さは１５％の食塩水の重さも足したものだし、１５％の食塩水の重さも分からないので、手がかりをつかみにくいのですね。

濃さのちがう２種類の食塩水を混ぜるということは、「濃さを平均化する」と考えることもできます。濃さはちがっても２種類の食塩水を同じ量ずつ混ぜると、２種類の食塩水のちょうど真ん中の濃さになります。また、混ぜ合わせてできた食塩水の濃さは、うすいほうと濃いほうの間になります。そして、多く混ぜた方の濃さに近くなります。

上の図は、１０％と１５％を分かりやすくするため大きくしています。「混ぜ合わせる１０％の食塩水と１５％の食塩水の重さの比は、平均に足りない２％と平均を超えた３％の逆比になる」というのがポイントです。赤い長方形の食塩が青い長方形の食塩へと移動するというイメージでどうぞ。

１２－１０＝２、１５－１２＝３。２：３→逆比で３：２…混ぜ合わせる１０％の食塩水と１５％の食塩水の重さの比。３００÷３×２＝２００（ｇ）。

食塩水の問題を逆比以外で解く

逆比でなければ解けないというわけではありませんので、念のためもう１つの解法を記しておきます。

やはり、上の面積図で考えることができると思います。
３００×０.１２＝３６。３６－３０＝６（ｇ）…３００ｇの食塩水を１２％の食塩水にするためにさらに必要な食塩の量。０.１５－０.１２＝０.０３（ｇ）…１５％の食塩水１ｇ入れるごとに１２％の食塩水にする時に余る食塩の量。６÷０.０３＝２００（ｇ）。

食塩水の問題を逆比で解く・おまけの問題

長くなりますので説明は省きますが、同じぐらいのレベルで逆比で解く代表的な食塩水の問題をもう１つ挙げておきますね。つるかめ算などの他の解法もありますが、逆比がいちばん”速い”かも。時間がありましたらチャレンジしてみてください。

【答え】８％の食塩水…２００ｇ、４％の食塩水…６００ｇ。

投稿者 寝太郎 : 16:47 | コメント (0) | トラックバック(0)

2007年01月18日

平均算を逆比で解こう

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

前回は「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係」ということで「逆比」を考えました。今回は「平均算を逆比の考え方で解く」です。
平均算の基本的な考え方はここでは省かせていただきますが、１つだけ、小学生の皆さんにこれはぜひ知っておいていただきたいことを。中学や高校の数学では欠かすことのできない考え方です。

２つの数のちょうど真ん中はいくら？

「２つの数１８と１０のちょうど真ん中にくる数はいくらか」という問題で、皆さんは次のような解き方をしていませんか。
・１８－１０＝８…２つの数の差。８÷２＝４。
１０＋４＝１４あるいは、１８－４＝１４。

もちろんこの解き方でもいいんですけども、「２つの数のちょうど真ん中にくる数は、２つの数の平均である」という考え方をすれば、
（１８＋１０）÷２＝１４で答えが出るんです。

平均を超える数量と超えない数量

「平均算を逆比の考え方で解く」場合、平均算の次のような考え方が必要になります。
★平均を超えた数量の合計と平均に足らない数量の合計は等しい
次の【図２】と【図３】の線分図で考えてみましょう。

念のため、【図３】の平均を２通りの方法で解いてみます。
【解法１】平均算のいちばん基本となる解き方です。（１８×２＋８×３）÷５＝１２。
【解法２】すべてをいちばん数量の少ないグループに合わせて、余った数量をすべてに再配分するという解き方です。これも平均算の重要な考え方ですね。（１８－８）×２＝２０。２０÷５＝４。８＋４＝１２。

さて、本題にもどりましょう。【図２】と【図３】いずれでも、「平均を超えた数量の合計（赤線の部分）」「平均に足らない数量の合計（青線の部分）」が等しいことに気づかれたでしょうか。
「逆比」というのは、２つの数量の積が一定であるということを利用します。平均を超えた数量の合計＝平均に足らない数量の合計＝一定の積だということです。
【図２】では、４×１＝２×２＝一定、６×２＝４×３＝一定ということですね。

平均算を逆比で解く

最後に、「逆比」を利用して平均算の問題を解いてみることにします。上で説明した、【解法２】をステップアップした解法です。

今度は、２つの数量のグループの人数が分かっておらずまた多いので、線分図ではなく面積図で考えてみることにします。ポイントは、平均を超えた数量の合計（赤くぬられた長方形の面積）＝平均に足らない数量の合計（青くぬられた長方形の面積）ですね。ちょうど、赤くぬられた数量の合計を青くぬられた数量の合計のところ流しこんでならす（平均化する）といったイメージでどうぞ。

「男子の平均に足らない点数×男子の人数＝女子の平均を超えた点数×女子の人数」ということで、「男子と女子の平均を超えた（足らない）点数」と「男子と女子の人数」は、逆比の関係になるんです。

１.１：０.９＝１１：９→逆比　９：１１…男子と女子の人数の比。４０÷（９＋１１）×９＝１８人…男子。

いかがでしたでしょうか。平均算のいわゆる難問には、逆比の考え方を利用すると解きやすい問題が多くあります。ぜひ挑戦してみてくださいね。

投稿者 寝太郎 : 11:11 | コメント (0) | トラックバック(0)

2007年01月11日

なぜ高校数学は難しいのか？

なぜ高校数学は難しいか、一つは、単純な理由です。中学数学と比べて量が圧倒的に多い。また、中身も濃い？から。もともと１学年につき教科書が２冊で中学数学の２倍。それに、小学校で難しい内容は中学へ、中学で難しい内容は高校へと先送りされています。そのような状況で、基礎学力をつけずに高校へ進学するとどうなるかは、火を見るよりも明らかです。続きを読む "なぜ高校数学は難しいのか？"

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2007年01月10日

逆比の活用３

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投稿者 寝太郎 : 11:59 | コメント (0) | トラックバック (0)

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初めて高校数学に立ち向かわれる方が高校数学をどのように学習していけばいいのか、その効率的な方法や陥りやすい高校数学の落とし穴といった点を中心に記してまいりたいと思います。続きを読む "初めに"

投稿者 寝太郎 : 09:44 | コメント (0) | トラックバック (0)

2007年01月08日

逆比をつかいこなそう！(2)速さとかかる時間

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2007年01月07日

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2007年01月04日

受験目前で心がけたい算数・数学のTips

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