進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年01月08日

逆比をつかいこなそう！(2)速さとかかる時間

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

まずはその第一弾。文章問題（文章題）の「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係」を取り上げます。代表的な逆比のセットですね。次に説明する問題は、「差集め算（差集算）」といわれる文章題の例題としてよく取り上げられます。参考書によっては「差集め算」という名の文章題は出てこないかもしれませんので「旅人算」の１種だと考えていただいてさしつかえありませんけども。
では、ご紹介しましょう。

速さとかかる時間は逆比

差集め算の解法

「逆比の解法の特性」を考えるため、一般的な差集め算の解法と逆比の解法を記します。まずは、差集め算の解法です。
差集め算というのは、「１つの差」がいくつか集まって「全体の差」になっていることに着目して解く文章題です。「つるかめ算」と同様、仮定して考えるという側面を持っています。ここではくわしくは触れませんが、次のような線分図で考えます。

時速で計算するのがふつうですが、あえて分速に直して計算しますね。
時速７.２ｋｍ＝分速１２０ｍ、時速６ｋｍ＝分速１００ｍ。
Ａ地からＢ地まで分速１２０ｍで□分かかったと仮定する。同じ道のりを分速１００ｍで□分進むと、Ｂ地までたどり着けない。そして、分速１００ｍでさらに１５分進むとＢ地に着くことになる。

１２０－１００＝２０（ｍ）…１分で進む道のりの差。１００×１５＝１５００（ｍ）…□分間での差の集まり。
１５００÷２０＝７５（分）…□（分速１２０ｍで□分かかる）。
１２０×７５＝９０００（ｍ）＝９（ｋｍ）…Ａ地からＢ地までのきょり。

いかがでしょうか？　差集め算の解説が目的ではありませんので、これぐらいにします。さて、次は、本題の逆比による解法です。図はありません。

逆比による解法

「道のりが一定の時、速さとかかる時間は逆比の関係にある」ということを知っているということが前提になります。

Ａ地からＢ地まで進む速さの比は、Ａ：Ｂ＝７.２：６＝６：５。したがって、Ａ地からＢ地までかかる時間の比は逆比で、Ａ：Ｂ＝５：６。
１５分が、６と５の差１に当たることになる。１５×６＝９０（分）…Ａ地からＢ地まで時速７.２ｋｍでかかる時間。
９０分＝１.５時間。７.２×１.５＝９（ｋｍ）…Ａ地からＢ地までのきょり。

いかかですか？　ざっと、これが算数の逆比による解法です。

さて、念のためもう１題。上の問題と似た問題でやはり差集め算。今度は速さが分からなくしてあります。逆比による解法のみを記します。

Ａ地からＢ地までかかる時間の比は、Ａ：Ｂ＝２０：１５＝４：３。したがって、Ａ地からＢ地まで進む速さの比は逆比で、Ａ：Ｂ＝３：４。
速さを増した毎分２０ｍが、４と３の差１に当たることになる。２０×３＝６０（ｍ/分）…Ａ地からＢ地まで２０分かかった時の分速。
６０×２０＝１２００（ｍ）＝１.２（ｋｍ）…Ａ地からＢ地までのきょり。

「道のりが一定の時、速さとかかる時間は逆比の関係にある」は、逆比の関係ではいちばん重要なものだと思いますので、最初に取り上げてみました。

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