進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年01月07日

逆比は超強力魔法だよ♪

受験レベルでの算数の考え方、いや、一般的な算数の解法でとても重要なものの１つに逆比（反比例）というものがあります。
皆さんは、逆比による解法を十分理解し、それを活用していますか？　比と逆比（反比例）は対になった大事な考え方です。とはいうものの、いつの間にか算数から消えて中学生の数学で習うことになってしまいましたね。そして、中学や高校の数学では表立って取り上げられることは少ないかもしれません。でも、算数の世界に限っても、難問を解く上での超強力魔法だと断言できます。

逆比って何？

ごぞんじの方も多いと思いますが、逆比というものを簡単に説明しておきましょう。
逆比というのは反比例という言葉に置き換えると、正比例とセットになった言葉ですが、ここでは逆比についてのみ考えます。「比と逆比」というと、少しニュアンスが変わってきますので。

逆比というのは、簡単に言うと、２つの数量の積が一定の関係です。
２つの数量Ａ、Ｂがあって、Ａが２倍、３倍、…となると、Ｂは２分の１、３分の１、…となっていくという関係です。また、Ａが２分の１、３分の１、…となると、Ｂが２倍、３倍、…となっていく。具体的には、

（Ａ，Ｂ）＝（１，６０）、（２，３０）、（３，２０）、（４，１５）、（５，１２）、（６，１０）…、といった２つの数量の関係です。Ａが１の時Ｂが６０という意味です。
１×６０＝６０、２×３０＝６０、３×２０＝６０、４×１５＝６０、５×１２＝６０、６×１０＝６０…
Ａ×Ｂ＝６０。ＡとＢの積が常に６０で一定ですね。

ついでに言うと、積が一定という関係は、計算の仕組みと工夫をする上で重要なテクニックでもあります。たとえば、
２０００×０.１２５なんて計算は、２×１２５と計算すると、小数計算しなくてすみますね。また、ここではくわしくは触れませんが、複雑な数学の計算を理解する上での大事な考え方でもあります。

比と逆比の関係を理解しよう

まず、比ありきです。まず簡単なものから。
比では２つの数量ＡとＢの割合をＡ：Ｂ＝１：３などど書き表します。この１：３を前後の数を逆にして、Ａ：Ｂ＝３：１と書き表したものを逆比といいます。単純にＡ：Ｂと書いていますが、上と下では表している数量が異なります。ＡとＢの何かが１：３（ＢはＡの３倍）だと、ＡとＢの別の何かは３：１（ＢはＡの３分の１）になるということですね。

今度はこういうのを。これが一般的な比の表し方です。２つの数量ＡとＢの割合をＡ：Ｂ＝３：２などど書き表します。この３：２を前後の数を逆にして、Ａ：Ｂ＝２：３と書き表したものを逆比といいます。Ａ：Ｂ＝３：２だから、Ｂ：Ａ＝２：３は逆比だとは言いません。
１個の値段の比は、Ａ：Ｂ＝３：２だから、同じ金額で買える個数の比は、ＡとＢでは２：３。つまり、「１個の値段の比」と「同じ金額で買える個数の比」は逆比であるということを表しているのです。

ついでによく見かける逆比のまちがいを。比の表し方の特徴は、３つ以上の数量の割合を表せるということです。
Ａ：Ｂ：Ｃ＝１：２：３の時、Ａ、Ｂ、Ｃの逆比は３：２：１にはなりません。たとえば、同じ道のりを進む時、Ａ、Ｂ、Ｃの３人の速さの比が１：２：３の時、かかる時間の比は、Ａ、Ｂ、Ｃ＝３：２：１にはなりませんね。正しくは、６：３：２です。

逆比の書き表し方には決まりがありませんが、私は次のように書けばいいんじゃないのと小学生に教えています。算数は、数学のように未知数（変数）を使わないですね。これが算数のいいところでもあります(‥;)。
・１個の値段の比…３：２→逆比で２：３…個数の比。※→の上に逆比と書く。

逆比になることなる数量の比はセットだよ

逆比になるものは、Ａ×Ｂ＝積（一定）のＡとＢの関係で、「逆比になることなる数量の比がセットになって決められている」です。
算数の問題で逆比を活用するためには、まずどのような数量の比のセットが逆比になるのかを覚えなくてはいけません。「積」になるものは何か？　その時のＡとＢの数量はどのようなものか？を考えなければなりません。そして次は、いろいろな問題の中から、この部分は逆比になるということを自分で見つけなくてはなりません。逆比を使いこなすにはやはり意識的に練習する必要があるかとは思いますが、難しい問題では、逆比を使いこなすと楽になるというケースがたくさん出てきます。

どのようなものが逆比になるか考えよう

最後に、どのような数量の比が逆比というセットになるのか基本的なものを具体的にいくつか挙げておきますね。

・同じ面積の長方形の縦の長さと横の長さ。
・同じ面積の三角形の底辺と高さ。
・同じ体積の角柱や円柱の、底面積と高さ。
・道のりが一定の時、速さとかかる時間の比。
・かみ合っている２つの歯車の歯の数と回転数。
・一定の仕事をする時、働く人数と仕事にかかる日数。

その他、高度な旅人算、食塩水の濃度、平均算など、いわゆる難問では逆比が最大限に活用できます。

上に挙げた例だけでは、逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかいま一つピンとこないと思いますので、これより先は具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。ただし、初心者向けというよりは、ある程度算数の基本が分かっている方向けですのでご承知おきくださいね。

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