進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年01月10日

逆比の活用３

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

文章問題（文章題）の「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係」の第２弾です。前回は、２人あるいは２つのものの速さとかかる時間の関係を考えましたが、今回は３人あるいは３つのもので考えてみたいと思います。応用力を養う上での代表的な問題、ぜひチャレンジしていただきたい問題を取り上げますが、レベル的には中級ぐらいかもしれません。あらかじめご承知おきを。それと、解くのに必要な図はありませんので、もし考えにくければご自分でかいて考えてみてください。

３とおりの速さの逆比ってどうなるの？

動くものは、点Ｐ１つしかありませんが、同じ道のり（正三角形の３つの辺）を３通りに速さを変えて移動するわけですね。したがって、かかる時間も３通りあります。

ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡまでの速さの比は１：２：３。
このことから、ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡまで移動するのにかかる時間の比を求めます。この求め方が、この問題のポイントです。よく使われる２通りの解法を記しますのでお好きな方をどうぞ。

【解法１】：
正三角形の１辺の長さを１として、道のり÷速さでかかる時間を求める。１÷１＝１、１÷２＝１/２、１÷３＝１/３。１：１/２：１/３＝６：３：２…それぞれの辺を進むのにかかる時間の比。

【解法２】：
分数計算をさけて整数で計算するには最小公倍数の考え方を利用します。１と２と３の最小公倍数は６。６を正三角形の１辺の長さとして考えます。道のり÷速さでかかる時間を求める。６÷１＝６、６÷２＝３、６÷３＝２。６：３：２…それぞれの辺にかかる時間の比。

整数計算の方が簡単ですぐれているように見えるかもしれませんが、安易に最小公倍数にたよりすぎるのは危険です。場合に応じてどちらもできるようにしておくことをおすすめします。

６＋３＋２＝１１…周上を１周するのにかかる時間の合計。３３÷１１×６＝１８（秒）…ＡからＢまでにかかる時間。１×１８＝１８（ｍ）…正三角形の１辺の長さ。１８×３＝５４（ｍ）。

これは逆比の問題？

もう１題、上の問題とよく似た問題を取り上げますのでどこがちがうかよく考えてみてくださいね。これは逆比の考え方ではなく、「」でそれぞれの速さを表そうとするものですね。上の問題でも、逆比といっても「道のり÷速さ」の考え方を利用しているんですけどもね。要は、「速さとかかる時間」の逆比の関係を感覚的につかんでおいてほしいということです。

文章問題を解く上でのコツは、長い文章をいくつかに切ってそれぞれのパートから何が分かるかを考えることです。
上の問題とちがってまわりの長さが初めから分かっていますね。それから、旅人算では「同時に」という意味を考えることがたいへん重要ですね。
３つの点がこの三角形を１周してもとの頂点にもどるまで進んだ道のりは、三角形のまわりの長さですから同じです。したがって、まず、「かかった時間は、ＢはＡの３分の１、ＣはＡの５分の１」に着目して、Ａ、Ｂ、Ｃ３つの点が同じ道のりを進むのにかかる時間の比を求めます。
Ａを１としていることから、かかる時間をＡ＝１、Ｂ＝１/３、Ｃ＝１/５とします。これを整数の比にすることは必要ありません。そして、この三角形のまわりの長さを１として速さの比を求めます。
（１÷１）：（１÷１/３）：（１÷１/５）＝１：３：５…Ａ、Ｂ、Ｃの速さの比。
「同時に同じ方向に辺にそって動いたところ、次の頂点にＡ、Ｂ、Ｃとも同時に着きました」をよく読み解こう。同じ時間で進む道のりの比は速さの比に等しいから、この三角形の辺の長さの比も１：３：５になる。そして、求めるのは最も長い辺で５に当たる辺である。
２７０÷（１＋３＋５）×５＝１５０（ｍ）。

以上で説明を終わります。「３人あるいは３つのもので」で逆比という、ちょっと強引な説明をしましたけれども、「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係は逆比である」ということを意識していただければ幸いです。

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