2007年01月23日

食塩水の問題を逆比で解こう

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

前回は「平均算を逆比の考え方で解く」ということで「逆比」を考えました。今回は「食塩水の濃さの問題を逆比の考え方で解く」です。
「食塩水の濃(こ)さ=濃度(のうど)の問題」は、小中学生の皆さんにとってとてもいやな問題、いや、大きらいだという人も少なくないでしょう。高校数学をやるようになっても、不等式などで食塩水の問題が出てくることもありますね。逃げられません?

なぜ苦手になるかというと、「割合」そのものが苦手だ、「食塩水の濃度の表し方」かよくわからないから、それが算数の問題であれ、数学の方程式や不等式で解く問題であれ、その解法が思いつかなくなるわけです。
そこで、「食塩水の問題を逆比で解く」前に、食塩水の濃度の表し方について簡単に触れておきましょう。

食塩水の濃さって?

「100gの水に20gの食塩を溶かすと、何%の濃さの食塩水ができますか。」という問題に、皆さんはどう答えますか。そんなの20%に決まってるじゃない、というまちがいが多いんですね。
食塩水の濃さというのは、水の重さをもとにするのではなく、食塩水の重さ(水の重さ+食塩の重さ)で表すことになっています。したがって、
20÷(100+20)=0.1666…で、約16.7%(約16%)。食塩を水に溶かしてもかさはほとんど増えませんから、つい水の重さで考えてしまうのかもしれませんね。ついでに、算数や理科では割り切れない場合は、%の小数第1位まで四捨五入で求めるのがふつうです。それともう1つ。理科の問題ではありませんので、溶解度というのは考えません。食塩水の問題に限りませんか、理解しにくい単元はだれにとってもそれだけ練習を積む必要があるということですね。
食塩水の濃さ(%)=食塩の重さ÷食塩水の重さ×100

食塩水の濃度を濃くするには?

食塩水の問題では濃度を濃くしたりうすくしたりすることを考えます。逆比の解法を考える前に、濃度を濃くする方法を復習をかねて3通り考えてみることにします。

その1:水を蒸発させて食塩水の濃度を濃くする

10%の濃さの食塩水が300gあります。この食塩水を12%の濃さにするためには水を何g蒸発させればよいですか。

食塩水の問題を考える

濃さが変わっても食塩の量(重さ)は変わらない」ことに着目する問題です。
300×01=30(g)…食塩の重さ。この食塩の重さが蒸発させてできた食塩水の12%に当たることになる。30÷0.12=250(g)。300-250=50(g)…蒸発させた水の量。

その2:食塩を加えて食塩水の濃度を濃くする

10%の濃さの食塩水が100gあります。これに食塩を加えて25%の濃さにするためには食塩を何g加えればよいですか。

図はありません(-_-;)。「濃さが変わっても水の量(重さ)は変わらない」ことに着目する問題です。
100×(1-0.1)=90(g)…水の重さ。この水の重さが食塩を加えてできた食塩水の75%(100%-25%)に当たることになる。90÷0.75=120(g)。120-100=20(g)…加えた食塩の量。

食塩水の問題を逆比で解く

さて、「食塩水の問題を逆比で解く」問題を。今度は、濃さが変わって食塩の量も水の量も変わってしまう(‥;)問題です。「逆比で解く」というのがテーマですので、まず逆比で解いてみます。

10%の食塩水が300gあります。この食塩水を12%の濃さにするためには、15%の食塩水を何g加えればよいですか。

中学数学では、15%の食塩水をxg加えるとして方程式で解くのでふつうの問題かもしれませんが、初めてこういった問題を算数で解くのは難しいかもしれません。でも、受験レベルの算数の食塩水の問題では易しい方かも(‥;)。

「12%の濃さ」いう時のもととなる食塩水の重さは15%の食塩水の重さも足したものだし、15%の食塩水の重さも分からないので、手がかりをつかみにくいのですね。

食塩水の問題を逆比で解く

濃さのちがう2種類の食塩水を混ぜるということは、「濃さを平均化する」と考えることもできます。濃さはちがっても2種類の食塩水を同じ量ずつ混ぜると、2種類の食塩水のちょうど真ん中の濃さになります。また、混ぜ合わせてできた食塩水の濃さは、うすいほうと濃いほうの間になります。そして、多く混ぜた方の濃さに近くなります。

上の図は、10%と15%を分かりやすくするため大きくしています。「混ぜ合わせる10%の食塩水と15%の食塩水の重さの比は、平均に足りない2%と平均を超えた3%の逆比になる」というのがポイントです。赤い長方形の食塩が青い長方形の食塩へと移動するというイメージでどうぞ。

12-10=2、15-12=3。2:3→逆比で3:2…混ぜ合わせる10%の食塩水と15%の食塩水の重さの比。300÷3×2=200(g)

食塩水の問題を逆比以外で解く

逆比でなければ解けないというわけではありませんので、念のためもう1つの解法を記しておきます。

やはり、上の面積図で考えることができると思います。
300×0.12=36。36-30=6(g)…300gの食塩水を12%の食塩水にするためにさらに必要な食塩の量。0.15-0.12=0.03(g)…15%の食塩水1g入れるごとに12%の食塩水にする時に余る食塩の量。6÷0.03=200(g)

食塩水の問題を逆比で解く・おまけの問題

長くなりますので説明は省きますが、同じぐらいのレベルで逆比で解く代表的な食塩水の問題をもう1つ挙げておきますね。つるかめ算などの他の解法もありますが、逆比がいちばん”速い”かも。時間がありましたらチャレンジしてみてください。

濃さが8%の食塩水と4%の食塩水を混ぜ合わせて、濃さが5%の食塩水を800g作ろうと思います。それぞれ何gずつ混ぜるとよいでしょうか。

【答え】8%の食塩水…200g、4%の食塩水…600g

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投稿者 寝太郎: 2007年01月23日 16:47

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