進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年04月18日

中学数学から高校数学の計算のはざま_３

この計算で錯覚してませんか？

再び、「高校数学では中学数学よりさらに高度な計算能力が要求される」ということで具体的な例を挙げてみます。今度は、「高度な計算能力が要求される」というのではなく、ここんところ錯覚されてる方が多いようですので、気をつけましょうということですね。
次のような問題です。

この２次方程式どう解くの？

(２－ｘ)(ｘ＋３)＝４

(ｘ－２)(ｘ＋３)＝０ならだれでも解けると思います。
簡単そうだけど、何か変だなと思われた方いませんか？。
確かに、(ｘ－２)(ｘ＋３)＝０が少し変わっただけなんですけどね。まさか、ｘ＝２、－３だなどとはされないでしょうが、計算に自信がないと、さてどうしようかとなるかもしれません。

初めに、中学数学の２次方程式のおさらいをしておきましょう。
ｘ²＋ｘ－６＝０という２次方程式を解く時、ふつうは、まず因数分解出来るかどうかを考え、もしだめなら解の公式を利用するという手順になると思います。解の公式利用は、解が無理数、虚数などずっとお世話になるわけです。

この問題の場合は、、(ｘ－２)(ｘ＋３)＝０と、左辺が因数分解できますので、ｘ＝２、－３と答えを出します。

また、、(ｘ－２)(ｘ＋３)＝４ならどうするか。
まず、ｘ²＋ｘ－６＝４と、せっかく因数分解出来てる(‥;)左辺をばらしてから右辺の４を移項して、
ｘ²＋ｘ－１０＝０
因数分解出来ないから、解の公式利用ということに。

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(２－ｘ)を(ｘ－２)にすると

さて、本題。
(２－ｘ)(ｘ＋３)＝４という２次方程式を解こうというのではありません。ここでクウェスチョン？。この式と等しい式は次に挙げるうちのどれでしょう。

正しい式は、２と３と５ですね。

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因数の積で表された式の正負の符号を変えるには

左辺の式、(２－ｘ)(ｘ＋３)を(ｘ－２)(ｘ＋３)にすると、この式全体の符号が変わってしまうんですね。ちょうど、２×３（全体でプラス）を(－２)×３（全体でマイナス）にするようなもんなんです。
したがって、式全体の符号を変えないようにするには、
－(ｘ－２)(ｘ＋３)にするか、
(ｘ－２)(－ｘ－３)にするかのいずれかということです。
後の変形は、ちょうど、２×３（全体でプラス）を(－２)×(－３)（全体でプラス）にするようなものです。

実は、それともう１つあります。

式ではなく、左辺＝右辺の方程式で考えると、
(２－ｘ)(ｘ＋３)＝４と
(ｘ－２)(ｘ＋３)＝－４は同じ式になります。左辺の式の符号が変わったから、それに合わせて右辺の式の符号も変えてやればいいという発想ですね。ちょうど、３＝３だから－３＝－３、ａ＝ｂだから－ａ＝－ｂ、ａ＝－ｂだから－ａ＝ｂのようなものです。

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右辺が０の方程式の符号を考えると

では、(２－ｘ)(ｘ＋３)＝０の場合はどうなるか？
この場合は、(ｘ－２)(ｘ＋３)＝０とやってもいいんですよ。左辺の式の符号は確かに変わっていますが、右辺の０は符号を変えても０のままだからです。

数学の盲点に注意しよう

いかがでしたでしょうか？　こういう疑問をお持ちになったことはありませんか。数学をやる上でこういった教科書や参考書に記載されていないであろう（たぶん）落とし穴や盲点というのがいくつかあって、それにはまると数学人生？先がないということがあります。だれかに指摘してもらえればいいのですが、気づかずそのままだと、数学の大事故を起こすことになります。
もし疑問に思ったら、恥ずかしがらずにだれかに聞くことです。私は、こういう疑問をもつ高校生は尊敬しますね。価値ある質問だと考えます。今の高校生用の問題集は解答・解説が詳しいでしょう。本人が解説読んでも分からないような本人にとって難しい問題の質問に詳しくていねいに説明しても、それが本人の身につくかどうかは別問題ですからね。

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