2007年05月30日
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（３）
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（３）
前回は「和と積」から２つの数を求めることを考えましたが、今回は「和と商」。
２つの数の「和と商」が分かれば、やはり２つの数を求めることが出来ます。今度は、算数。文章題で「分配算」とか「倍数算」とかいうのに相当する問題。線分図を習っていないと小学生は難しいかもしれませんが、とても重要な考え方を含んでいますのでぜひチャレンジしてみてください。
２つの数の和と商の意味
まず、「２つの数の商」とは、ある数を別の数で割った時の答えという意味で使っています。たとえば、１０÷２＝５という式は、割り算という計算の商が５であるということです。けれども、そのほかに、１０は２の５倍という意味があります。つまり、割り算の商は割合を表すという側面があるわけです。これは、超重要。
２÷１０だと、どうなるか。２÷１０＝０.２で、やはりこれも割合を表すことが出来、２は１０の０.２倍、２割、２０％、１/５などと書きますね。
２つの数の和と商の問題
では、さっそく２つの数の「和と商」の問題をやってみましょう。
【問題】：
☆２つのＡとＢがあって、ＡとＢの和は５４でＡをＢで割った商は５です。２つの数はそれぞれいくらですか。
「ＡをＢで割った商は５」ということは、ＡはＢの５倍ということですね。「ＡとＢの和は５４」ということと「ＡはＢの５倍」ということを一般的な線分図で表すと、次のようになります。
この線分図で、どのようなことが分かるか？
ずばり、「ＡとＢの和５４」が、５＋１＝６で、「Ｂの６倍」になっていることです。
したがって、５４÷６＝９で、まず、Ｂ＝９が求められます。Ａは、９×５＝４５でも、５４－９＝４５いずれの計算でも求められます。かた一方の計算を確かめに使うといいですね。
【答え】Ａ＝４５、Ｂ＝９
数学で解くと？
ご参考までに、中学生はこの問題を数学でどう解くか？ 方程式で解くということになりますね。
１つ目は、こういう式です。
小さい方の数Ｂをｘとする（Ｂのままでもいいんですけどね）と、大きい方の数Ａは５４－ｘ。
５４－ｘ/ｘ=５。５４－ｘ＝５ｘ。６ｘ＝５４。ｘ＝９…Ｂ。後は省略。
文字どおり、問題の内容をそのままｘを使った式で表した解法ですが、分母にｘを持ってきていますので、中学生に成りたての皆さんはここでこけるかも(‥;)。
２つ目は、こういう式です。小さい方の数Ｂをｘとするのは、上と同じです。
ＡはＢの５倍ということを理解して、Ａ＝５ｘとおく。
ｘ＋５ｘ＝５４。６ｘ＝５４。ｘ＝９…Ｂ。後は省略。
算数で解いた方が楽？
数学の下の解法は、実は、算数の線分図の解法と考え方が同じなんです。線分図では、Ｂ＝ｘの代わりに、Ｂ＝１としているだけです。変数（未知数）がない分、慣れればこちらの方が楽かもしれませんね。慣れれば線分図をかく必要もないですよ。
変数が１つならまだいいんですが、変数を作りすぎるのは危険です？問題によっては複雑になり、計算がたいへん。たとえば、ここでは触れませんが、ニュートン算を変数で解くには、ふつう変数を３つ使います。
ついでに。
中学生になって方程式の応用問題をやるようになると、変数を使って式で表す必要が出てきます。この場合、割り算の式で分母に変数を使って式そのものは正しいんですが、それから計算出来ないで困るというケースもよく見かけます。
何をｘ（変数、未知数）とおくかが重要です。たとえば、速さの問題で求めるものが速さだったりすると、「速さ×時間＝道のり」ですから、「時間＝時間」の式を作った場合「速さ」をｘとおくと、分母にｘがきてしまいますね。
方程式の応用問題では、必ずしも求めるものをｘとする必要はない。
たとえば、「道のり＝道のり」の式を作った場合「速さ」や「時間」をｘとおいても、かけ算ですので分母にｘがこないから計算が楽になります。
数学をやるにしても、２つ目の方程式の解法のように算数？の考え方を知ってた方がいいということでしょうか。２つの数の「和と商」なんてのは学習単元にはないですが、算数・数学の解法の見えないツボのようなもんです。
投稿者 寝太郎 : 11:31 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年05月28日
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（２）
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（２）
前回は「和と差」から２つの数を求めることを考えましたが、今回は「和と積」。
２つの数の「和と積」が分かれば、やはり２つの数を求めることが出来ます。そして、この求め方は算数というよりむしろ数学と関係が深いです。
２つの数の和と積の問題
たとえば、２つの数の「和と積」がわかっていれば、２つの数を求めることができるなんてのは、中学で因数分解を習う時に必要ですね。
☆ｘ²＋８ｘ＋１５＝（ｘ＋３）（ｘ＋５）なんてやつです。
この場合、和が８で、積が１５の２つの数がいくらかを考えます。これを計算ではなくすぐに思い浮かべることができるように練習すると、少なくとも「因数分解」には強くなりますよ。もっとも、数学では解の公式というのがあって、因数分解出来なくても解けますけどね。
また、高校数学では、「解と係数の関係」で２つの数の「和と積」を考えます。ｘとｙを使った対称式は「基本対称式」ｘ＋ｙ（和）とｘｙ（積）の２つの式で表せるなんてのもありますね。
２つの数の和と積の問題は算数♪
というわけで？ 小学生の算数で考えることが出来るわけですから、チャレンジしてみてください。まあ、計算に強くなるための脳筋トレーニングとでも考えればいいんです。
小学生も対象ということで、正（プラス）の整数しかあつかいませんし、方程式による解法はなしということにします。２次方程式で解けますが、整数ならかえってめんどうな場合が多いですね。
さっそく、次のような問題を考えてみましょう。
【問題】：
☆２つの整数があって、その和は７で、その積は１０です。２つの整数はそれぞれいくらですか。
まず、２つの数の積が１０であることから２つの数の組み合わせを考えるのが楽です。約数の世界ですね。余談ですが、「約数」に強くなるというのは、算数・数学の計算に強くなるためにたいへん重要だと思います。
１０＝１×１０、２×５と２とおり。（１，１０）、（２，５）のうち、和が７になるのは（２，５）。よって、答えは、２と５。
少し難しいのを。
【問題】：
☆２つの整数があって、その和は２７で、その積は１８０です。２つの整数はそれぞれいくらですか。
１８０＝１×１８０、２×９０、３×６０、４×４５、５×３６、６×３０、９×２０、１０×１８、１２×１５。これらのうち、和が２７になるのは（１２，１５）。
よって、答えは、１２と１５。
算数の約数に強くなろう！！
なんだ、めんどくさいな、と思われた方は方程式で解いてみてください。因数分解、解の公式（おっと、高校数学に行っちゃいましたね？）何でもありです。どういうことか、解いてみれば分かります。
そこで、結論。「２つの数の和と積」の世界でイメージトレーニング。約数に強くなることは、算数・数学に強くなる大事なTips！！
投稿者 寝太郎 : 12:57 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年05月27日
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（１）
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題
ちょっと変わった？算数の計算・考え方をシリーズで取り上げましょう。テーマは、「さまざまな解法で応用力を高める」にしておきましょう。こういうのです。
２つの数ＡとＢがあって、この２つの数の和・差･積･商のいずれか２つが分かっている時、ＡとＢがいくつか分かるか、そしていくらになるかを計算してみようというものです。
２つの数の和・差･積･商の組み合わせは、「和と差」「和と積」「和商」「差と積」「差と商」「積と商」の６つです。これを全部、その解法を考えてみようと思います。算数ですので、もちろん負（マイナス）の数はあつかいません。
２つの数の和と差の問題
さて、第１弾は、「２つの数の和と差が分かれば」。
これは、算数の文章題で「和差算」という解法に当たります。私立中学入試を志されるお子さんたちが、最初に取り組む文章題の１つです。また、算数解法の重要なツールである線分図を学ぶための入門として位置づけられる問題です。
「和差算」の考え方を簡単に言えば、「２つの数（量）の和と差が分かっていれば、２つの数（量）を求めることが出来る」ということです。求める数のどちらかの２倍がいくらかを考えようということですね。
次のような線分図で考えることになります。初めは上の線分図の方が考えやすいと思いますが、慣れれば下の線分図で考えるといいと思います。３つ以上の数量の関係を考える場合など、応用の幅が広がります。
・２つの数（量）の「和」と「差」が分かっていれば：
「和」から「差」を引くと、「小さい数」の２倍が分かる。
「和」と「差」を足すと、「大きい数」の２倍が分かる。
２倍がいくらかを線分図で考えよう！
和差算は線分図の基本だよ！
投稿者 寝太郎 : 12:31 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年05月24日
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投稿者 寝太郎 : 11:39 | コメント (0) | トラックバック (0)
2007年05月16日
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投稿者 寝太郎 : 16:17 | コメント (0) | トラックバック (0)
2007年05月15日
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このような間違いを運よく？どなたかに指摘されたら、高校生の皆さんは、何よりも優先して、何度も反復練習して身につけることをお薦めします。高校数学の学力向上のために欠かせない基礎訓練だと考えます。
続きを読む "中学数学から高校数学の計算のはざま_５"投稿者 寝太郎 : 09:37 | コメント (0) | トラックバック (0)
2007年05月14日
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投稿者 寝太郎 : 09:10 | コメント (0) | トラックバック (0)
2007年05月11日
国語のテストを考える（１）
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続きを読む "国語のテストを考える（１）"投稿者 寝太郎 : 10:37 | コメント (0) | トラックバック (0)