進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年05月15日

中学数学から高校数学の計算のはざま_５

多項式の割り算でこの問題が苦手？

数Ⅱで最初に習う単元に、「多項式の割り算」というのがあります。ああ知ってるという方は、２年生の初めか、１年生の３学期かにやった覚えがおありだと思います。

なぜこんな話題を取りあげるのかというと、次のような２つの問題で、初めの問題１は出来ても、２つ目の問題２でつまずく高校生の方が目に付くからです。

☆問題１：次の多項式Ａ、Ｂについて、ＡをＢで割った商と余りを求めよ。また、その結果をＡ＝ＢＱ×Ｒの形に表せ。
Ａ＝４ｘ³－３ｘ－９　　Ｂ＝２ｘ＋３

☆問題２：次の条件を満たす多項式Ａ、Ｂを求めよ。
ｘ³－ｘ²＋３ｘ＋１をＢで割ると、商がｘ＋１、余りが３ｘ－１である。

なぜ問題２は行き詰まるか？

問題２で行き詰まっている方の計算式を見ていると、次のように計算しています。
ｘ³－ｘ²＋３ｘ＋１をｘ＋１で直接割っているんですね。多項式をｘの１次式で割る時は「組み立て除法」という便利なものがあるんですが、同じように行き詰まります。
実際、ｘ³－ｘ²＋３ｘ＋１をｘ＋１で割ると、商がｘ²－２ｘ＋５で、余りが－４になっちゃうんですね。ここから、どうしてよいか分からない(-_-;)。

多項式Ａが３次式で、商がｘ＋１だから、Ｂは２次式で余りは１次式。ところが、ｘ＋１で割ると余りは定数になっちゃうということにからくりがあるんですね。だから、正しい２次式Ｂが求められない。正確には、これでも何とかする方法はあるんですが、普通は無理でしょうね。

算数と高校数学の計算のはざま？

このシリーズは、「中学数学と高校数学の計算のはざま？ 」ということでやってますが、今回は「小学算数と高校数学の計算のはざま」かもしれませんね(‥;)。まぁ、中学数学でも、「過不足算系統」の方程式の応用問題で似たような考え方の問題がありますが。
高校のこの問題で行き詰まるのは、次のような算数のいちばん大事な計算の意味がつかめていないからです。（２）～（４）は、□の中の数を求める問題です。

（１）２９÷６＝４…５
（２）２９÷６＝□…５
（３）２９÷□＝４…５
（４）□÷６＝４…５

（１）と（２）は問題ないんですが、（３）と（４）で計算式の意味がつかめていないと困ることになります。詳しく見ていきましょう。

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４つの式の意味と計算方法

（１）の割り算の意味は、ふつう２９の中に６がいくつあっていくつ余るかという意味の計算です。単純な数の計算ですが、「２９個÷６＝４…５個」という量の計算では、「２９個を６等分すると１つ分はいくらになって何個余るか」という意味になります。

（２）は、２９÷６とそのまま計算しても答えが出ます。

問題は、（３）なんです。
（２）と同じように？計算してみるとどうなるか。みなさん、たいてい２９を４で割ろうとします。
２９÷４＝７…１だから、□は７、あれれ？というようなパターンです。これぐらいの簡単な計算なら、九九で強引に「七四２８」とやっても答えは出ますが、少し複雑な計算になると、式の意味を考えて計算しないと対応できませんね。

あまりの５は２９の中から出てきたものだから、２９からあまりの５を引いてから４で割ると割りきれる、というのが式を考えて解くということです。この考え方が出来ていると、上の高校数学の割り算にも対応出来るというわけですね

（４）は、□は、６が４個あり、さらにそれより５大きいという意味ですから、□＝６×４＋５で求めるんです。

余りのある割り算で整数計算の意味をつかもう

上の４つの計算は、数そのものは簡単かもしれませんが、式の意味を考えて解くと、「加減乗除」すべてがふくまれているのがお分かりでしょうか。算数の計算の仕組みを考えるとても重要な考え方です。

高校数学の「問題２：次の条件を満たす多項式Ａ、Ｂを求めよ。
ｘ³－ｘ²＋３ｘ＋１をＢで割ると、商がｘ＋１、余りが３ｘ－１である。」という問題では、確かに半分は高校数学です。どんなに算数や中学数学が出来る方でも、問題の意味が分からなければ解けません。
ですが、残りの半分の考え方は高校数学でしょうか。高校数学では当然知っているという前提でやるというだけの話ですね。

このような間違いを運よく？どなたかに指摘されたら、高校生の皆さんは、何よりも優先して、何度も反復練習して身につけることをお薦めします。高校数学の学力向上のために欠かせない基礎訓練だと考えます。

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