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2007年05月30日

２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（３）

２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（３）

前回は「和と積」から２つの数を求めることを考えましたが、今回は「和と商」。

２つの数の「和と商」が分かれば、やはり２つの数を求めることが出来ます。今度は、算数。文章題で「分配算」とか「倍数算」とかいうのに相当する問題。線分図を習っていないと小学生は難しいかもしれませんが、とても重要な考え方を含んでいますのでぜひチャレンジしてみてください。

２つの数の和と商の意味

まず、「２つの数の商」とは、ある数を別の数で割った時の答えという意味で使っています。たとえば、１０÷２＝５という式は、割り算という計算の商が５であるということです。けれども、そのほかに、１０は２の５倍という意味があります。つまり、割り算の商は割合を表すという側面があるわけです。これは、超重要。
２÷１０だと、どうなるか。２÷１０＝０.２で、やはりこれも割合を表すことが出来、２は１０の０.２倍、２割、２０％、１/５などと書きますね。

２つの数の和と商の問題

では、さっそく２つの数の「和と商」の問題をやってみましょう。

【問題】：
☆２つのＡとＢがあって、ＡとＢの和は５４でＡをＢで割った商は５です。２つの数はそれぞれいくらですか。

「ＡをＢで割った商は５」ということは、ＡはＢの５倍ということですね。「ＡとＢの和は５４」ということと「ＡはＢの５倍」ということを一般的な線分図で表すと、次のようになります。

この線分図で、どのようなことが分かるか？
ずばり、「ＡとＢの和５４」が、５＋１＝６で、「Ｂの６倍」になっていることです。
したがって、５４÷６＝９で、まず、Ｂ＝９が求められます。Ａは、９×５＝４５でも、５４－９＝４５いずれの計算でも求められます。かた一方の計算を確かめに使うといいですね。
【答え】Ａ＝４５、Ｂ＝９

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数学で解くと？

ご参考までに、中学生はこの問題を数学でどう解くか？　方程式で解くということになりますね。

１つ目は、こういう式です。
小さい方の数Ｂをｘとする（Ｂのままでもいいんですけどね）と、大きい方の数Ａは５４－ｘ。
５４－ｘ/ｘ=５。５４－ｘ＝５ｘ。６ｘ＝５４。ｘ＝９…Ｂ。後は省略。

文字どおり、問題の内容をそのままｘを使った式で表した解法ですが、分母にｘを持ってきていますので、中学生に成りたての皆さんはここでこけるかも(‥;)。

２つ目は、こういう式です。小さい方の数Ｂをｘとするのは、上と同じです。
ＡはＢの５倍ということを理解して、Ａ＝５ｘとおく。
ｘ＋５ｘ＝５４。６ｘ＝５４。ｘ＝９…Ｂ。後は省略。

算数で解いた方が楽？

数学の下の解法は、実は、算数の線分図の解法と考え方が同じなんです。線分図では、Ｂ＝ｘの代わりに、Ｂ＝１としているだけです。変数（未知数）がない分、慣れればこちらの方が楽かもしれませんね。慣れれば線分図をかく必要もないですよ。

変数が１つならまだいいんですが、変数を作りすぎるのは危険です？問題によっては複雑になり、計算がたいへん。たとえば、ここでは触れませんが、ニュートン算を変数で解くには、ふつう変数を３つ使います。

ついでに。
中学生になって方程式の応用問題をやるようになると、変数を使って式で表す必要が出てきます。この場合、割り算の式で分母に変数を使って式そのものは正しいんですが、それから計算出来ないで困るというケースもよく見かけます。

何をｘ（変数、未知数）とおくかが重要です。たとえば、速さの問題で求めるものが速さだったりすると、「速さ×時間＝道のり」ですから、「時間＝時間」の式を作った場合「速さ」をｘとおくと、分母にｘがきてしまいますね。
方程式の応用問題では、必ずしも求めるものをｘとする必要はない。 たとえば、「道のり＝道のり」の式を作った場合「速さ」や「時間」をｘとおいても、かけ算ですので分母にｘがこないから計算が楽になります。

数学をやるにしても、２つ目の方程式の解法のように算数？の考え方を知ってた方がいいということでしょうか。２つの数の「和と商」なんてのは学習単元にはないですが、算数・数学の解法の見えないツボのようなもんです。