2007年06月16日
面積・灘中・中級
算数・2007年入試・良問１００番勝負：その２
下の図のように正方形が２つあり、小さい正方形の中に円がある。斜線部分の面積は□ｃｍ²である。
灘中_１日目・１０番の問い…中級問題の標準。面積・中級
解法に必要な単元・考え方
面積の差の利用（基本）。正方形と円の面積の関係（中級）
ポイント１：小さい正方形の面積を求める
…大きい正方形から４つの直角三角形を引く。
ポイント２：
小さい正方形の１辺の長さ、対角線の長さや円の半径が算数レベルでは求めることが出来ない…正方形に円が内接（ぴったり内側にくっつく）している時、正方形の面積が分かれば円の面積を求めることが出来る。
正方形と内接する円の面積の関係（中級）
この問題が解けるかどうかは、ひとえにポイント２を理解しているかどうかにかかってきます。面積解法の中級のTipsだと思います。式はほとんど同じですが、２通りの解法をご紹介します。
【解法１】：
☆円の面積＝半径×半径×３.１４。ふつうは、先に半径の長さを求めるが、要は「半径×半径」が分かれば、それに３.１４をかけると内接する円の面積を求めることが出来る。
下の図から分かるように、「半径×半径」は、外側の正方形の面積の４分の１に当たる。
【式と答え】式と答え：
５＋３＝８、８×８＝６４（ｃｍ²）…外側の正方形の面積。
３×５÷２×４＝３０（ｃｍ²）…４つの直角三角形の面積の和。
６４－３０＝３４（ｃｍ²）…内側の正方形の面積。
３４÷４＝８.５（ｃｍ²）…半径×半径。
８.５×３.１４＝２６.６９（ｃｍ²）…円の面積。
３４－２６.６９＝７.３１（ｃｍ²）…斜線部分の面積。
【解法２】：
☆正方形と内接する円の面積の関係を割合で考える（中級）
円の半径を１とする。１×１×３.１４＝３.１４…円の面積。
１×２＝２…正方形の１辺。２×２＝４…正方形の面積。
正方形の面積：円の面積＝４：３.１４。
３４×３.１４/４＝２６.６９（ｃｍ²）…円の面積。
以下、【解法１】と同じ。
円と内接する正方形の面積の関係（中級）
ついでに、円とそれに内接する正方形の面積の関係を覚えておきましょう。やはり、正方形の１辺の長さや円の半径が分からなくとも、円あるいは正方形の一方の面積が分かれば、もう片方の面積を求めることが出来ます。
下の図のように、円の内側に正方形がぴったりくっついています。正方形の面積は４０ｃｍ²です。色を塗った部分の面積を求めなさい。
【式と答え】：
半径×半径が正方形の面積の半分であることに着目するとよい。
４０÷２＝２０（ｃｍ²）…半径×半径
２０×３.１４＝６２.８（ｃｍ²）…円の面積。
６２.８－４０＝２２.８（ｃｍ²）…色を塗った部分の面積。
投稿者 寝太郎 : 10:46 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年06月13日
平均算・淳心学院中・中級
算数・2007年入試・良問１００番勝負：その１
父、母、兄、弟、妹の５人家族がいます。
５人の年齢（れい）の平均は２１才です。兄は弟より１才年上で、弟は妹より４才年上です。また、父は母より３才年上で、父、母の年齢の平均は子供３人の年齢の平均より２７．５才上です。次の問いに答えなさい。
（１）子供３人の年齢の平均は何才ですか。
（２）５人の年齢は、それぞれ何才ですか。
淳心学院中_３番の問い…中級の入門問題。平均算・中級
平均算の基本とグループ別の平均・和差算の基本・分配算の基本
ポイント１：
５人の年齢の平均は２１才です…５人の年齢の和が分かる。平均算の基本。
ポイント２：
兄は弟より１才年上で、弟は妹より４才年上です…３人の年齢の和が分かれば、分配算の基本で３人の年齢が分かる。
ポイント３：
また、父は母より３才年上で…父と母の年齢の和が分かれば、和差算の基本で２人の年齢が分かる。
ポイント４：
父、母の年齢の平均は子供３人の年齢の平均より２７．５才上です…グループごとの平均の比較（差）。線分図で考えると考えやすい。
少し複雑な問題も、基本の組み合わせだという典型的な良問ということで取り上げました。
（１）
ポイント１とポイント４の組み合わせで、子供３人の年齢の平均あるいは父、母の年齢の平均が分かるというのが最大のポイントですね。
ポイント４を線分図で表すと、次のようになります。
いかがででしょうか？
５人の年齢上の和は、ポイント１から、２１×５＝１０５（才）。
（１０５－２７.５×２）÷５＝１０（才）…子供の年齢の平均。
（２）
１０×３＝３０（才）…子供の年齢の和。
ポイント２から、分配算の線分図の基本は次のようになります。
妹にそろえて、（３０－１－４×２）÷３＝７（才）…妹。
７＋４＝１１（才）…弟。
１１＋１＝１２（才）…兄。
ポイント３から、和差算の基本で、父と母の年齢を求めます。線分図は省略(-_-;)
（１０＋２７.５）×２＝７５（才）…父と母の年齢の和。
（７５－３）÷２＝３６（才）…母。
３６＋３＝３９（才）…父。
【答え】：父３９才、母３６才、兄１２才、弟１１才、妹７才。
参考：
☆２１－２７.５÷（２＋３）×２＝…１０（才）…子供の年齢の平均。こういう解法もあります。
「平均算を逆比で解こう」
投稿者 寝太郎 : 12:28 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年06月12日
算数・２００７年入試・良問集
「電話帳」？全国・国私立中学入試問題集
皆さんは、通称「電話帳」と呼ばれる全国・国私立中学入試問題を網羅した書籍をごぞんじでしょうか？
数社の学参出版社から毎年今の季節に刊行されて書店の店頭にも並べられています。
私のところにも、年末のゴブラン織りのカレンダーとともにこの「電話帳」が今の季節送られて来ます。今年もまた、数日前に最新版がおくられてきました。けっこう分厚い書籍ですので、十冊以上になるとかなり本棚の場所を取ります(‥;)。
私が手にするのは、教学研究社という出版社からのものですが、算数の学参・問題集を手がけている関係で分冊になった薄手の算数だけのものもいっしょに送られて来ます。一般書店では手に入りませんが、塾などでこの算数だけのものを夏休みなどにやらせるケースもあります。今年の問題ですので、市販の学参・問題集と問題がかぶることがないというメリットがあるんですね。
市販の学参・問題集も、こういった最新版から過去数年の「全国・国私立中学入試問題集」から適当な問題をピックアップして作製されることになります。
私立中の今年の算数の入試問題は？
この書籍が送られてくると、私は期待に胸ふくらませ？？、ぱらぱらと目を通すわけですが、習い性と成るというやつで、どうしても難関校の問題に目がいってしまいます。(-_-;)
今年の算数の問題の出題傾向？という話題は、別に取り上げたいと思います。ここでは、２００７年春に全国で実施された国私立中学の算数の入試問題の中から、「ぜひその解法を知っておいていただきたい」と思う問題を厳選し、その問題を解くにはどのようなことを知っていないといけないかを分析し、解法のTipsをご紹介します。
算数の良問を解こう ♪
算数に限らず、数学であっても同じですが、学力向上には欠かせないプロセスがあるように思います。
まず、学習する単元の基礎学力をじゅうぶん身につける。それから、初級、中級、上級とステップを踏んでいわゆる「良問」にじっくり取り組み、式を書いて考え、解法を理解し、身につける。後は、その反復練習。
入試も含めた実力テストでは、自分のものとした多くの解法パターンの中からその問題を解くにはどれが必要かを考えるのですね。
少し話がそれますが、今の高校では公立、私立を問わず、国公立進学対策として特別クラスを編成し、教科書、問題集共にレベルの高い内容のものを選び、どんどん先に進めていくというケースが目立ちます。
それはそれでいいのですが、まず基礎学力ありきです。ただでさえ、高校数学の公式のたぐいは数多く、しかも複雑です。いきなり解法パターン中心で数学に取り組むと、やる気があっても途中で挫折するかもしれません。
ただ、基礎学力をじゅうぶん身につけたら、次に取り組むべきは教科書や学参の例題、いわゆる「良問」です。学校別の出題傾向に沿った対策はその次にくるものだと私は考えます。
どのような問題を取り上げるか
「全国・国私立中学入試問題集」全体の問題を基準に、初級、中級、上級と３ランクに分け、「中級」と「上級」の問題の中からこれはという良問を取り上げます。さらに、「中級の入門レベル」、「上級の難問」といったコメントを出来るだけ入れてより難易度を明確にしたいと思います。むろん、私の主観的判断ですが。「初級」は「楽学考房・算数の道場」でどうぞといいたいところですが、Web上のHTMLの制約もあって、テキストベースの説明では難しく感じられるかもしれません。
取り上げる問題はランダムで、不定期更新になるかもしれません。ご承知おきを。
有名校の問題ももちろん取り上げますが、いろんな中学の問題も取り上げます。特殊解法によるものより、応用範囲の広がる問題を優先して取り上げます。取り上げる基準はあくまで私の独断と偏見によるものです。
取り上げた問題で、それを解くにはどのようなことを知っていないといけないかを分析します。それを理解するにはどういった単元、考え方をこれから学習して身につけなければならないかのご参考にしていただきたいからです。
解法は、私の判断した個人的な解法です。これでなければというものではけっしてありません。元来、算数・数学の解法は１通りでないのがふつうです。時間が許せば、こういう解法もありますよということで、併記するつもりではおりますが。
投稿者 寝太郎 : 11:45 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年06月09日
二字熟語の暗記ゲームの勧め
熟語の書き取りを練習する時には、紙に書きますね。と同時に、目をつぶって頭の中のホワイトボードにも書きこむんです。そして、思い出す時は再び目をつぶって頭の中のホワイトボードに書かれたものを取り出す。えっ？ 何もないって？ 続きを読む "二字熟語の暗記ゲームの勧め"
投稿者 寝太郎 : 16:35 | コメント (0) | トラックバック (0)
2007年06月04日
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（６）
さて、最後に「積と商」から２つの数を求めるというのを取りあげてみます。こんなのは初めてという方もおられるかもしれませんね。でも、私立中学の入試レベルでは、必要な場合もある解法です。私は、「積と商」から２つの数を求める解法を「積商算」と勝手に命名してます。「和差算」があるなら、「積商算」があってもいいと思いませんか(‥;)。続きを読む "２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（６）"
投稿者 寝太郎 : 11:17 | コメント (0) | トラックバック (0)
2007年06月03日
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（５）
「和と積」、「差と積」がちょい数学っぽかったですが、この「差と商」は、「和と商」とセットになる重要な考え方です。分配算と呼ばれる「量と割合」を線分図で考える算数の基本となる問題ですので、私立中学を受験するしないにかかわらず、小学生のうちにぜひマスターしておいてほしいと思います。続きを読む "２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（５）"
投稿者 寝太郎 : 20:35 | コメント (0) | トラックバック (0)
2007年06月02日
２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（４）
「和と積」の時と同様、２つの数の「差と積」が分かれば、やはり２つの数を求めることが出来ます。算数よりむしろ数学と関係が深いのも同じで、この２つはセットで考えてください。
では、さっそく問題。
投稿者 寝太郎 : 08:51 | コメント (0) | トラックバック (0)