進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年06月04日

２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（６）

２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（６）

さて、最後に「積と商」から２つの数を求めるというのを取りあげてみます。こんなのは初めてという方もおられるかもしれませんね。 でも、私立中学の入試レベルでは、必要な場合もある解法です。
私は、「積と商」から２つの数を求める解法を「積商算」と勝手に命名してます。「和差算」があるなら、「積商算」があってもいいと思いませんか(‥;)。

小学校で習う算数で「文章問題」というのは事実上深くあつかうことはありませんが、数多くある文章題というものは、算数・そして数学につながる大事な考え方の「型（パターン）」を訓練するものだとも言えると思います。
算数・数学に強くなるためには、小学生のうちに「文章問題」に強くなろうとお勧めするのもそういった理由の１つです。

積商算？の問題

具体的には、こんな問題です。

【問題】：
☆２つの整数があって、その積は１２で、その商は３（大きい数を小さい数でわった答え）です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

いかがでしょう？　こんな問題やったことありますか？
　

こんな感じで、小学生は解けると思います。

小さい方の整数を□とすると、大きい方の整数はその３倍なので、□×３と表すことができます。
これも、「商」を割合に置きかえただけです。まず、割合を考えるということですね。

すると、２つの数の積は、□×（□×３）＝□×□×３。
□×□×３＝１２となり、□×□は、１２÷３で４です。 □×□＝４。４になる□を考えます。２つある□は同じ数ですので、２ですね。例によって、－２（マイナス２）は考えないことにします。

「平方根」の考え方

実は、これは、中学で習う「平方根」の考え方そのものなのですね。
こんなの小学生に解けるのと思われる方も多いと思います。

そこで、たとえば、３６の約数を考える場合、次のようにやります。
３６＝１×３６、２×１８、３×１２、４×９、６×６。
今まで取りあげた数の約数の場合とちがって、最後が６と６と同じになってしまいましたね。

３６のような同じ数の積で表せる数を「平方数」と言います。
１（１×１），４（２×２），９（３×３），１６（４×４），２５（５×５），…とたくさんあります。
こういった平方数に親しんでおくことも、将来数学に取り組んだ時には役立つと思います。

もう少し難しい平方数を

もう少し？、難しいのをやってみましょう。

【問題】：
☆２つの整数があって、その積は１１５６で、その商は４（大きい数を小さい数でわった答え）です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

ええっ！！て感じでしょうか。でも、いちおう解いてみますね。

小さい方の整数を□とすると、大きい方の整数はその４倍なので、□×４と表すことができます。

２つの数の積は、□×（□×４）＝□×□×４です。
□×□×４＝１１５６となり、□×□は、１１５６÷４で２８９です。 □×□＝２８９。２８９になる□を考えます。
無理だとお思いですか？

こんな感じで解きます。
１０×１０＝１００、２０×２０＝４００なので、□の十の位は１。 □の一の位の数字の積の一の位が９であることに着目。

３×３＝９、７×７＝４９で、この２とおりの場合しかない。
１３×１３＝１６９、１７×１７＝２８９なので、□＝１７。１７×４＝６８。
求める２つの整数は、１７と６８。

今回で「２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題」シリーズはおしまいです。ややパズルのような問題もありましたが、こういう問題に取り組んでいると知らず知らずのうちに算数・数学の総合的な学力が向上していくというものだと思います。
がんばってくださいね。