進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年06月16日

面積・灘中・中級

算数・2007年入試・良問１００番勝負：その２

下の図のように正方形が２つあり、小さい正方形の中に円がある。斜線部分の面積は□ｃｍ²である。
灘中_１日目・１０番の問い…中級問題の標準。面積・中級

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正方形と内接する円の面積の関係（中級）

この問題が解けるかどうかは、ひとえにポイント２を理解しているかどうかにかかってきます。面積解法の中級のTipsだと思います。式はほとんど同じですが、２通りの解法をご紹介します。

【解法１】：
☆円の面積＝半径×半径×３.１４。ふつうは、先に半径の長さを求めるが、要は「半径×半径」が分かれば、それに３.１４をかけると内接する円の面積を求めることが出来る。
下の図から分かるように、「半径×半径」は、外側の正方形の面積の４分の１に当たる。

【式と答え】式と答え：
５＋３＝８、８×８＝６４（ｃｍ²）…外側の正方形の面積。
３×５÷２×４＝３０（ｃｍ²）…４つの直角三角形の面積の和。
６４－３０＝３４（ｃｍ²）…内側の正方形の面積。
３４÷４＝８.５（ｃｍ²）…半径×半径。
８.５×３.１４＝２６.６９（ｃｍ²）…円の面積。
３４－２６.６９＝７.３１（ｃｍ²）…斜線部分の面積。

【解法２】：
☆正方形と内接する円の面積の関係を割合で考える（中級）
円の半径を１とする。１×１×３.１４＝３.１４…円の面積。
１×２＝２…正方形の１辺。２×２＝４…正方形の面積。
正方形の面積：円の面積＝４：３.１４。
３４×３.１４/４＝２６.６９（ｃｍ²）…円の面積。
以下、【解法１】と同じ。

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円と内接する正方形の面積の関係（中級）

ついでに、円とそれに内接する正方形の面積の関係を覚えておきましょう。やはり、正方形の１辺の長さや円の半径が分からなくとも、円あるいは正方形の一方の面積が分かれば、もう片方の面積を求めることが出来ます。

下の図のように、円の内側に正方形がぴったりくっついています。正方形の面積は４０ｃｍ²です。色を塗った部分の面積を求めなさい。

【式と答え】：
半径×半径が正方形の面積の半分であることに着目するとよい。
４０÷２＝２０（ｃｍ²）…半径×半径
２０×３.１４＝６２.８（ｃｍ²）…円の面積。
６２.８－４０＝２２.８（ｃｍ²）…色を塗った部分の面積。

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