2007年07月17日
差集算・愛光中・中級
算数・2007年入試・良問１００番勝負： その６
３種類の箱Ａ、Ｂ、Ｃがあり、Ａにはりんご２０個、Ｂにはなし３０個、Ｃにはかき５０個が入っています。果物の値段の合計は７２００円で、一番高い果物と一番安い果物の１個あたりの値段の差は６０円です。ＡからりんごをＢに、ＢからなしをＣに、ＣからかきをＡにそれぞれ同じ数ずつ移したところ、箱に入っている果物の値段の合計は、Ａが２４０円下がり、Ｂが４８０円下がりました。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）りんご、なし、かきを１個あたりの値段が高い方から順に並べなさい。答だけでよい。
（２）それぞれの箱から何個ずつ移しましたか。
（３）かき１個の値段を求めなさい。
愛光中_２番の問い…中級ではやや難しめ。差集算・中級
解法に必要な単元・考え方
・和が一定の考え方・差集算(１個あたりの差と全体の差)・分配算
ポイント１：
、一番高い果物と一番安い果物の１個あたりの値段の差は６０円です…。（１）の結果を利用して（２）の問題を解かせるというきれいで無理のない誘導問題です。まず、一番高い果物と一番安い果物はどれかを考えてその値段の差を利用するわけですね。
ポイント２：
ＡからりんごをＢに、ＢからなしをＣに、ＣからかきをＡにそれぞれ同じ数ずつ移した…。移した後、３つの箱の中身はどうなっているかを理解する。「同じ数」ずつ移していることがポイント。□個ずつ移したとすると、
Ａ…りんごと□個のかき（個数の合計２０個。値段の合計が２４０円少なくなる）
Ｂ…なしと□個のりんご（個数の合計３０個。値段の合計が４８０円少なくなる）
Ｃ…かきと□個のなし（個数の合計５０個。値段の合計は？）
Ａの「値段の合計が２４０円少なくなる」から、かき１個の値段が
りんご１個の値段よりより安いことが分かる。またＢの「値段の合計が４８０円少なくなる」から、りんご１個の値段がなし１個の値段より安いことが分かる。
ポイント３：
Ｃの値段の合計がどうなったかを考えるのがこの問題の最大のポイント。…Ａ、Ｂ、Ｃ３つの箱全体では、りんご、なし、かきそれぞれの個数は変わっていないので、全体の値段も変わらない。Ａの「値段の合計が２４０円少なくなる」とＢの「値段の合計が４８０円少なくなる」から、Ｃの箱ではこの安くなった値段の和だけ値段が高くなっている。
ポイント４：
一番高い果物と一番安い果物の１個あたりの値段の差は６０円です…ポイント３から一番高い果物と一番安い果物が分かり、Ｃの箱で１個あたりの値段の差６０円が□個集まった分だけ値段が高くなっていることから、何個（□個）ずつ移したかが分かる。
ポイント５：
Ａの「値段の合計が２４０円少なくなる」と、Ｂの「値段の合計が４８０円少なくなる」から、…りんごとかき１個の値段の差、なしとりんご１個の値段の差が分かる。
ポイント６：
Ａにはりんご２０個、Ｂにはなし３０個、Ｃにはかき５０個が入っています。果物の値段の合計は７２００円…りんごとかき１個の値段の差、なしとりんご１個の差が分かっており、それぞれの個数と全体の値段が分かるので、全部が１種類の果物と考えた時の合計金額から果物１個の値段を求める。分配算の基本の出番。
差集算の問題（中級）
差集算(差集め算)は、過不足算と対になった文章題ですが、両者に共通な考え方は、「１個あたりの差と全体の差」です。
（１）、（２）、（３）ときれいな誘導問題で、小学生に解かせるのに計算も考え方も無理がなく、きちんと考える力を問う良問だと思います。たとえば、（１）と（２）をとばして（３）の問いだけにすると問題のレベルが上級レベルにはね上がってしまうしまうかもしれません。あえてそれをせずに誘導問題にするという受験者の立場に立った親切設計だと思います。誘導問題でありかつ考えさせるレベルを保った問題を作るというのは、実は難しいんですね。
（１）「Ａ…りんごと□個のかき（個数の合計２０個。値段の合計が２４０円少なくなる）」より、「１個の値段はりんごはかきより高い。」
「Ｂ…なしと□個のりんご（個数の合計３０個。値段の合計が４８０円少なくなる）」より、「１個の値段はなしはりんごより高い。」。
したがって、値段の高い順に、なし、りんご、かき。
（２）２４０＋４８０＝７２０(円)…かき□個となし□個の値段の差。一番高いなしと一番安いかきの１個あたりの値段の差は６０円。
７２０÷６０＝１２(個)…□。よって、１２個
（３）２４０÷１２＝２０(円)…りんご１個とかき１個の値段の差。４８０÷１２＝４０(円)…なし１個とりんご１個の値段の差。
２０＋３０＋５０＝１００(個)…果物全体の個数。求めるものが一番安いかき１個の値段なので、１００個全部がかきと考えた時の全体の値段を考える。念のため、分配算の線分図(面積図)を。関係が分かればいいので、参考程度に。
２０×２０＋６０×３０＝２２００(円)。７２００－２２００＝５０００(円)…かき１００個の値段。５０００÷１００＝５０(円)。よって、５０円。
投稿者 寝太郎 : 12:32 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年07月12日
通過算・甲陽学院中・中級
算数・2007年入試・良問１００番勝負：その５
東西にのびる線路があります。ある時Ａ君が線路の近くに立っていると、西から特急、東から急行が近づいてきてＡ君のちょうど目の前ですれちがい始めました。すれちがい始めてから１０秒後に線路の向こう側が見えました。特急と急行の列車の長さがそれぞれ２００ｍ、１６０ｍで、速さの比が３：２であることが分かっているものとして、次の問いに答えなさい。
（１）特急と急行の速さはそれぞれ秒速何ｍですか。
（２）Ａ君の真東にいたＢ君も同じ特急と急行を見ていました。Ｂ君の目の前を急行が通過し始めてから、特急が通過し終わるまでの１６と２/３秒間はずっと線路の向こう側は見えないままでした。Ａ君とＢ君の間の距離(きょり)を求めなさい。
甲陽学院中_１日目５番の問い…中級ではやや難しめ。通過算・中級
解法に必要な単元・考え方
・通過算の応用的理解・速さの比（同じ時間で進む道のりの比）
ポイント１：
すれちがい始めてから１０秒後に線路の向こう側が見えました…ここをきちんとその意味を理解出来るかどうかが、分かれ目ですね。よくあるパターンの単純に出会ってからはなれるまでと解釈してはこの問題は解けません。両列車がはなれる地点はＡ君の目の前ではないですからね。
Ａ君が線路の向こう側を見ることが出来るのは、両列車の最後尾がＡ君の目の前を通り過ぎた後です。
ポイント２：
特急と急行の速さの比が３：２…速さの比が分かれば同じ時間で進む道のりあるいは道のりの比が分かる。
これを利用して、
・特急の最後尾がＡ君の目の前を通り過ぎた時…２００×２/３＝１３３と１/３ｍで、急行の最後尾がＡ君の目の前を通り過ぎていないことが分かる。
・急行の最後尾がＡ君の目の前を通り過ぎた時…１６００×３/２＝２４０ｍで、特急の最後尾はＡ君の目の前を通り過ぎてからさらに４０ｍはなれていることが分かる。
したがって、「すれちがい始めてから１０秒後に線路の向こう側が見えました。」は、急行が急行の速さで１６０ｍ走るのにかかる時間であることが分かる。これを図で示すと次のようになります。
ポイント３：
Ａ君の真東にいたＢ君も同じ特急と急行を見ていました。Ｂ君の目の前を急行が通過し始めてから、特急が通過し終わるまでの１６と２/３秒間はずっと線路の向こう側は見えないままでした…Ｂ君はＡ君の真東にいて、急行は東から西に進んでいるので、Ｂ君の目の前を急行が通過し始めた時、特急と急行はまだ出会っておらず、特急はその時の地点から１６と２/３秒間進んでＢ君の目の前を最後尾が通り過ぎたことになる。
ポイント４：
Ｂ君の目の前を急行が通過し始めた時、特急の先頭とＡ君までの距離と急行の先頭とＡ君までの距離の比は、両列車の速さの比である。これを簡単に図解すると次のようになる。もちろん、「速さ・時間・道のりの関係」の基本式でも解ける。
通過算の問題（中級）
旅人算ファミリーの一員として通過算があります。旅人算の考え方をベースに「動くものの幅（長さ）」を考え、「出会い」とか「完全に通過する」とか、いろんな基本事項の習得に加え、いろんなバリエーションがあっておもしろい問題作成が可能な文章題です。おっと、それをやらされる受験生の皆さんにとってはたまったもんじゃないかもですね(-_-;)。
でも、計算も含めて無理のない良問だと思います。
（１）
急行の最後尾がＡ君の目の前を通り過ぎるまでの時間がポイントです。
１６０÷１０＝１６ｍ/秒…急行。１６÷２×３＝２４ｍ/秒…特急。
（２）
２４×１６と２/３＝４００(ｍ)…急行の先頭がＢ君の目の前を通りかかった時から特急の先頭が走った距離。
４００－２００＝２００(ｍ)…急行の先頭がＢ君の目の前を通りかかった時の特急の先頭と急行の先頭の距離。
２００÷(３＋２)×２＝８０(ｍ)…Ａ君とＢ君の間の距離。
【参考】：２００÷(２４＋１６)＝５(秒)…特急と急行が出会うまでの時間。１６×５＝８０(ｍ)と、比を使わなくとももちろん可。
投稿者 寝太郎 : 14:57 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年07月09日
規則性・筑波大附属駒場中・中級
算数・2007年入試・良問１００番勝負：その４
分数５１/８２を小数に直していくときの、小数第１位(１/１０の位)にある数を１番目の数、小数第２位(１/１００の位)にある数を２番目の数、…とします。
次の問いに答えなさい。
（１）１０番目の数を答えなさい。
（２）１番目の数から１００番目の数までをすべてかけてできた数には，一の位からＯが続けて何個並んでいますか。
（３）１番目の数に２番目の数を加え，さらに３番目の数を加え，……と，順に，次々と数を加えていきます。加えてできた数がちょうど２００７になるのは，何番目の数までを加えたときですか。
筑波大学附属駒場中・１番の問い…中級問題の標準。規則性の問題・中級
解法に必要な単元・考え方
分数と循環小数・周期性の考え方・整数の積と０の個数・周期を組で考える
ポイント１：分数は、割られる数(分子)÷割る数(分母)の商を表す。
５１/８２＝５１÷８２＝０.６２１９５１２１９５１２１９…、と、小数第１位の「６」をのぞいて、小数第２位以降は「２１９５１」のくり返し（周期）。循環小数と言われるもので、わざと「小数第１位に「６」を入れてその処理能力を試しているような(‥;)。
ポイント２：「整数の積と０の個数」の問題では基本となる問題でしょうか。「１から５０までの整数すべてをかけた積は、一の位から０がいくつ連続してならんでいるか」などという問題は、少し難しくなりますが。
ポイント３：「加えてできた数がちょうど２００７になるのは，何番目の数までを加えたときですか」。これも、１つの周期を組としてとらえることが出来るかを試す問題。「２００７」というのは、もちろんこれが２００７年度のテストですよという意味ですね(^^)。
規則性（周期）の問題（中級）
規則性の問題は、代表的なものに「数列」と「周期性」があって、これの複合問題もあります。まず、「周期性」の基本的な考え方をしっかり押さえておかないと複合問題には太刀打ち出来ません。ちなみに「数列」というのは、今では高校数学の数Ｂでいきなり登場、「ベクトル」と並んで数学の大きな壁になっているような。「オレ、数学だめだ(-_-;)」となるのかも。でも、中学入試ではふつうに出題されますからね。
ここで取り上げる問題は、「周期性」の基本をよく理解しているかを問う問題で、けっして難問で「いじめよう？」なんてものではなく、出題された先生の意図がはっきり分かる良問だと思います。しっかり理解出来ていないとひっかかります。基本的な総合力がないと解けないかもしれません。
【解法】：
（１）５１/８２＝５１÷８２＝０.６｜２１９５１｜２１９５１｜２１９…、と、小数第１位の１番目の「６」以降、２番目からは「２１９５１」の５つの数のくり返し。計算力も問われます。
１０番目の数だから、数えた方が早いかもしれませんが、しっかり式を立てて解く習慣をつけておかないと、１００番目なんてことになるとこけます。
１０－１＝９。９÷５＝１あまり４。この意味をつかむことが大切。「２１９５１」の５人？から成る組（クラス）を考えると、２組の初めから４人目の人ということですかね。
４人目は「５」だから、５。
（２）今度は、周期性に整数の積が加わってます。簡単に言うと、「５の倍数に偶数をかけると０が１つ出来る」です。よく出題される問題は、２５の倍数なども考えなければならないのですが、この問題は「２１９５１」の「２×５＝１０」で０が１つ出来るというシンプルな仕組みになっています。おそらく、０.６｜２１９５１｜…という循環小数を先に設定してこれを分数に直されたのでしょうね。
１００－１＝９９。９９÷５＝１９あまり４。あまりの４には「２１９５」と２と５がある。１９＋１＝２０。したがって、２０個。
(３)これは、周期性の問題に取り組み始めた時に、多くの子供が最初にはまる落とし穴があります。
２＋１＋９＋５＋１＝１８で、１組（クラス）５人の合計は１８。
１番目の６を先に引いて、２００７－６＝２００１。
２００１÷１８＝１１１あまり３。１８が１１１組。つまり、５人の組が１１１組。「あまりの３」がくせもので、３＝２＋１と考えるんです。３は和で、組の人数ではないから、うっかり？「＋３」とやっちゃうんですね。
１＋５×１１１＋２＝５５８で、５５８番目。
投稿者 寝太郎 : 10:23 | コメント (0) | トラックバック(0)
2007年07月04日
単位分数の和・麻布中・中級
算数・2007年入試・良問１００番勝負：その３ 次の例のように、ある分数を、分子が１で分母が異なるいくつかの分数の和で書き表すことを考えます。 ２/３＝１/２＋１/６、２/３＝１/３＋１/４＋１/１２...続きを読む "単位分数の和・麻布中・中級"
投稿者 寝太郎 : 18:18 | コメント (0) | トラックバック (0)