進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年07月04日

単位分数の和・麻布中・中級

算数・2007年入試・良問１００番勝負：その３

次の例のように、ある分数を、分子が１で分母が異なるいくつかの分数の和で書き表すことを考えます。
２/３＝１/２＋１/６、２/３＝１/３＋１/４＋１/１２など。
１３/２０＝１/２＋３/２０＝１/２＋１/７＋１/１４０，
１３/２０＝(１０＋２＋１)/２０＝１/２＋１/１０＋１/２０など。
次の(１)、(２)の分数について、このような表し方を１つ答えなさい。
(１)１３/１８ (２)５/１３ 麻布中・４番の問い…中級問題の標準。単位分数の和・中級

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分数を単位分数の和に分解する（中級）

時々出題されるパズルっぽい問題です。麻布中らしいですね。答えは１とおりではありませんから、答えを２つか３つぐらい書かせると出来る子と出来ない子の差がついたかも(‥;)。
古代エジプトでは、２/３という大きさの分数を１/２＋１/６などと単位分数の和で表していたそうです。

【解法１】：古代エジプト式？（分母が最も小さくなる単位分数を次々に取り入れていく）
☆初めに、次のようなことを考えてみましょう。２/３を単位分数に分けるんですが、分数だけでは考えにくいかもしれませんので、ピザパイで(‥;)。

２枚のピザパイを３人に公平に分けることを考えましょう。もちろん、１人１枚というわけにはいかない。さて、どうするか？
２枚のピザパイをそれぞれ２枚に切って４切れにすれば、１人１/２枚食べることが出来る。残ったピザパイ半分（１/２枚）をどうするか？
またこれを３等分すればいい。１/２枚を３等分すると１/６枚。
したがって、２/３＝１/２＋１/６って具合に単位分数の和に出来ますね。

【解法２】：分母を倍分（約分の反対で、分母分子に同じ数をかける）し、分子を分母の異なる約数の和で表す。
☆ある数をその数の約数で割ると、必ず割り切れることを利用します。
たとえば、３は６の約数。６÷３＝２で割り切れる。これを分数の約分で使うと、３/６＝１/２で単位分数になる。
この問題のヒントに、１３/２０＝(１０＋２＋１)/２０とありますね。１０、２、１はすべて２０の約数です。これを利用するんです。
２/３＝４/６。４/６＝(１＋３)/６＝１/６＋３/６＝１/６＋１/２。

ついでに言うと、単位分数自身も別の分母の異なる単位分数の和として表すことが出来ますので、和を長くしてもいいのなら、次のようなのもありです。
・１/４＝２/８＝(１＋１)/８＝１/８＋１/８…分母が同じになるから×。
１/４＝３/１２＝(１＋２)/１２＝１/１２＋１/６…○。

【式と答え】式と答え：

(１)【解答例１】１３/１８＝１/２＋２/９＝１/２＋１/５＋１/４５。
【解答例２】１３/１８＝２６/３６＝(２＋６＋１８)/３６＝２/３６＋６/３６＋１８/３６＝１/１８＋１/６＋１/２。

(２)【解答例１】５/１３＝１/３＋２/３９＝１/３＋１/２０＋１/７８０。
【解答例２】５/１３＝３０/７８＝(１＋３＋２６)/７８＝１/７８＋３/７８＋２６/７８＝１/７８＋１/２６＋１/３。

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