2007年07月09日
規則性・筑波大附属駒場中・中級
算数・2007年入試・良問１００番勝負：その４
分数５１/８２を小数に直していくときの、小数第１位(１/１０の位)にある数を１番目の数、小数第２位(１/１００の位)にある数を２番目の数、…とします。
次の問いに答えなさい。
（１）１０番目の数を答えなさい。
（２）１番目の数から１００番目の数までをすべてかけてできた数には，一の位からＯが続けて何個並んでいますか。
（３）１番目の数に２番目の数を加え，さらに３番目の数を加え，……と，順に，次々と数を加えていきます。加えてできた数がちょうど２００７になるのは，何番目の数までを加えたときですか。
筑波大学附属駒場中・１番の問い…中級問題の標準。規則性の問題・中級
解法に必要な単元・考え方
分数と循環小数・周期性の考え方・整数の積と０の個数・周期を組で考える
ポイント１：分数は、割られる数(分子)÷割る数(分母)の商を表す。
５１/８２＝５１÷８２＝０.６２１９５１２１９５１２１９…、と、小数第１位の「６」をのぞいて、小数第２位以降は「２１９５１」のくり返し（周期）。循環小数と言われるもので、わざと「小数第１位に「６」を入れてその処理能力を試しているような(‥;)。
ポイント２：「整数の積と０の個数」の問題では基本となる問題でしょうか。「１から５０までの整数すべてをかけた積は、一の位から０がいくつ連続してならんでいるか」などという問題は、少し難しくなりますが。
ポイント３：「加えてできた数がちょうど２００７になるのは，何番目の数までを加えたときですか」。これも、１つの周期を組としてとらえることが出来るかを試す問題。「２００７」というのは、もちろんこれが２００７年度のテストですよという意味ですね(^^)。
規則性（周期）の問題（中級）
規則性の問題は、代表的なものに「数列」と「周期性」があって、これの複合問題もあります。まず、「周期性」の基本的な考え方をしっかり押さえておかないと複合問題には太刀打ち出来ません。ちなみに「数列」というのは、今では高校数学の数Ｂでいきなり登場、「ベクトル」と並んで数学の大きな壁になっているような。「オレ、数学だめだ(-_-;)」となるのかも。でも、中学入試ではふつうに出題されますからね。
ここで取り上げる問題は、「周期性」の基本をよく理解しているかを問う問題で、けっして難問で「いじめよう？」なんてものではなく、出題された先生の意図がはっきり分かる良問だと思います。しっかり理解出来ていないとひっかかります。基本的な総合力がないと解けないかもしれません。
【解法】：
（１）５１/８２＝５１÷８２＝０.６｜２１９５１｜２１９５１｜２１９…、と、小数第１位の１番目の「６」以降、２番目からは「２１９５１」の５つの数のくり返し。計算力も問われます。
１０番目の数だから、数えた方が早いかもしれませんが、しっかり式を立てて解く習慣をつけておかないと、１００番目なんてことになるとこけます。
１０－１＝９。９÷５＝１あまり４。この意味をつかむことが大切。「２１９５１」の５人？から成る組（クラス）を考えると、２組の初めから４人目の人ということですかね。
４人目は「５」だから、５。
（２）今度は、周期性に整数の積が加わってます。簡単に言うと、「５の倍数に偶数をかけると０が１つ出来る」です。よく出題される問題は、２５の倍数なども考えなければならないのですが、この問題は「２１９５１」の「２×５＝１０」で０が１つ出来るというシンプルな仕組みになっています。おそらく、０.６｜２１９５１｜…という循環小数を先に設定してこれを分数に直されたのでしょうね。
１００－１＝９９。９９÷５＝１９あまり４。あまりの４には「２１９５」と２と５がある。１９＋１＝２０。したがって、２０個。
(３)これは、周期性の問題に取り組み始めた時に、多くの子供が最初にはまる落とし穴があります。
２＋１＋９＋５＋１＝１８で、１組（クラス）５人の合計は１８。
１番目の６を先に引いて、２００７－６＝２００１。
２００１÷１８＝１１１あまり３。１８が１１１組。つまり、５人の組が１１１組。「あまりの３」がくせもので、３＝２＋１と考えるんです。３は和で、組の人数ではないから、うっかり？「＋３」とやっちゃうんですね。
１＋５×１１１＋２＝５５８で、５５８番目。
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