進学_受験のためのTips・楽学考房

2007年01月23日

食塩水の問題を逆比で解こう

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

前回は「平均算を逆比の考え方で解く」ということで「逆比」を考えました。今回は「食塩水の濃さの問題を逆比の考え方で解く」です。
「食塩水の濃（こ）さ＝濃度（のうど）の問題」は、小中学生の皆さんにとってとてもいやな問題、いや、大きらいだという人も少なくないでしょう。高校数学をやるようになっても、不等式などで食塩水の問題が出てくることもありますね。逃げられません？

なぜ苦手になるかというと、「割合」そのものが苦手だ、「食塩水の濃度の表し方」かよくわからないから、それが算数の問題であれ、数学の方程式や不等式で解く問題であれ、その解法が思いつかなくなるわけです。
そこで、「食塩水の問題を逆比で解く」前に、食塩水の濃度の表し方について簡単に触れておきましょう。

食塩水の濃さって？

「１００ｇの水に２０ｇの食塩を溶かすと、何％の濃さの食塩水ができますか。」という問題に、皆さんはどう答えますか。そんなの２０％に決まってるじゃない、というまちがいが多いんですね。
食塩水の濃さというのは、水の重さをもとにするのではなく、食塩水の重さ（水の重さ＋食塩の重さ）で表すことになっています。したがって、
２０÷（１００＋２０）＝０.１６６６…で、約１６.７％（約１６％）。食塩を水に溶かしてもかさはほとんど増えませんから、つい水の重さで考えてしまうのかもしれませんね。ついでに、算数や理科では割り切れない場合は、％の小数第１位まで四捨五入で求めるのがふつうです。それともう１つ。理科の問題ではありませんので、溶解度というのは考えません。食塩水の問題に限りませんか、理解しにくい単元はだれにとってもそれだけ練習を積む必要があるということですね。
・食塩水の濃さ（％）＝食塩の重さ÷食塩水の重さ×１００

食塩水の濃度を濃くするには？

食塩水の問題では濃度を濃くしたりうすくしたりすることを考えます。逆比の解法を考える前に、濃度を濃くする方法を復習をかねて３通り考えてみることにします。

・その１：水を蒸発させて食塩水の濃度を濃くする

１０％の濃さの食塩水が３００ｇあります。この食塩水を１２％の濃さにするためには水を何ｇ蒸発させればよいですか。

「濃さが変わっても食塩の量（重さ）は変わらない」ことに着目する問題です。
３００×０１＝３０（ｇ）…食塩の重さ。この食塩の重さが蒸発させてできた食塩水の１２％に当たることになる。３０÷０.１２＝２５０（ｇ）。３００－２５０＝５０（ｇ）…蒸発させた水の量。

・その２：食塩を加えて食塩水の濃度を濃くする

１０％の濃さの食塩水が１００ｇあります。これに食塩を加えて２５％の濃さにするためには食塩を何ｇ加えればよいですか。

図はありません(-_-;)。「濃さが変わっても水の量（重さ）は変わらない」ことに着目する問題です。
１００×（１－０.１）＝９０（ｇ）…水の重さ。この水の重さが食塩を加えてできた食塩水の７５％（１００％－２５％）に当たることになる。９０÷０.７５＝１２０（ｇ）。１２０－１００＝２０（ｇ）…加えた食塩の量。

食塩水の問題を逆比で解く

さて、「食塩水の問題を逆比で解く」問題を。今度は、濃さが変わって食塩の量も水の量も変わってしまう(‥;)問題です。「逆比で解く」というのがテーマですので、まず逆比で解いてみます。

中学数学では、１５％の食塩水をxｇ加えるとして方程式で解くのでふつうの問題かもしれませんが、初めてこういった問題を算数で解くのは難しいかもしれません。でも、受験レベルの算数の食塩水の問題では易しい方かも(‥;)。

「１２％の濃さ」いう時のもととなる食塩水の重さは１５％の食塩水の重さも足したものだし、１５％の食塩水の重さも分からないので、手がかりをつかみにくいのですね。

濃さのちがう２種類の食塩水を混ぜるということは、「濃さを平均化する」と考えることもできます。濃さはちがっても２種類の食塩水を同じ量ずつ混ぜると、２種類の食塩水のちょうど真ん中の濃さになります。また、混ぜ合わせてできた食塩水の濃さは、うすいほうと濃いほうの間になります。そして、多く混ぜた方の濃さに近くなります。

上の図は、１０％と１５％を分かりやすくするため大きくしています。「混ぜ合わせる１０％の食塩水と１５％の食塩水の重さの比は、平均に足りない２％と平均を超えた３％の逆比になる」というのがポイントです。赤い長方形の食塩が青い長方形の食塩へと移動するというイメージでどうぞ。

１２－１０＝２、１５－１２＝３。２：３→逆比で３：２…混ぜ合わせる１０％の食塩水と１５％の食塩水の重さの比。３００÷３×２＝２００（ｇ）。

食塩水の問題を逆比以外で解く

逆比でなければ解けないというわけではありませんので、念のためもう１つの解法を記しておきます。

やはり、上の面積図で考えることができると思います。
３００×０.１２＝３６。３６－３０＝６（ｇ）…３００ｇの食塩水を１２％の食塩水にするためにさらに必要な食塩の量。０.１５－０.１２＝０.０３（ｇ）…１５％の食塩水１ｇ入れるごとに１２％の食塩水にする時に余る食塩の量。６÷０.０３＝２００（ｇ）。

食塩水の問題を逆比で解く・おまけの問題

長くなりますので説明は省きますが、同じぐらいのレベルで逆比で解く代表的な食塩水の問題をもう１つ挙げておきますね。つるかめ算などの他の解法もありますが、逆比がいちばん”速い”かも。時間がありましたらチャレンジしてみてください。

【答え】８％の食塩水…２００ｇ、４％の食塩水…６００ｇ。

投稿者 寝太郎 : 16:47 | コメント (0) | トラックバック(0)

2007年01月18日

平均算を逆比で解こう

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

前回は「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係」ということで「逆比」を考えました。今回は「平均算を逆比の考え方で解く」です。
平均算の基本的な考え方はここでは省かせていただきますが、１つだけ、小学生の皆さんにこれはぜひ知っておいていただきたいことを。中学や高校の数学では欠かすことのできない考え方です。

２つの数のちょうど真ん中はいくら？

「２つの数１８と１０のちょうど真ん中にくる数はいくらか」という問題で、皆さんは次のような解き方をしていませんか。
・１８－１０＝８…２つの数の差。８÷２＝４。
１０＋４＝１４あるいは、１８－４＝１４。

もちろんこの解き方でもいいんですけども、「２つの数のちょうど真ん中にくる数は、２つの数の平均である」という考え方をすれば、
（１８＋１０）÷２＝１４で答えが出るんです。

平均を超える数量と超えない数量

「平均算を逆比の考え方で解く」場合、平均算の次のような考え方が必要になります。
★平均を超えた数量の合計と平均に足らない数量の合計は等しい
次の【図２】と【図３】の線分図で考えてみましょう。

念のため、【図３】の平均を２通りの方法で解いてみます。
【解法１】平均算のいちばん基本となる解き方です。（１８×２＋８×３）÷５＝１２。
【解法２】すべてをいちばん数量の少ないグループに合わせて、余った数量をすべてに再配分するという解き方です。これも平均算の重要な考え方ですね。（１８－８）×２＝２０。２０÷５＝４。８＋４＝１２。

さて、本題にもどりましょう。【図２】と【図３】いずれでも、「平均を超えた数量の合計（赤線の部分）」「平均に足らない数量の合計（青線の部分）」が等しいことに気づかれたでしょうか。
「逆比」というのは、２つの数量の積が一定であるということを利用します。平均を超えた数量の合計＝平均に足らない数量の合計＝一定の積だということです。
【図２】では、４×１＝２×２＝一定、６×２＝４×３＝一定ということですね。

平均算を逆比で解く

最後に、「逆比」を利用して平均算の問題を解いてみることにします。上で説明した、【解法２】をステップアップした解法です。

今度は、２つの数量のグループの人数が分かっておらずまた多いので、線分図ではなく面積図で考えてみることにします。ポイントは、平均を超えた数量の合計（赤くぬられた長方形の面積）＝平均に足らない数量の合計（青くぬられた長方形の面積）ですね。ちょうど、赤くぬられた数量の合計を青くぬられた数量の合計のところ流しこんでならす（平均化する）といったイメージでどうぞ。

「男子の平均に足らない点数×男子の人数＝女子の平均を超えた点数×女子の人数」ということで、「男子と女子の平均を超えた（足らない）点数」と「男子と女子の人数」は、逆比の関係になるんです。

１.１：０.９＝１１：９→逆比　９：１１…男子と女子の人数の比。４０÷（９＋１１）×９＝１８人…男子。

いかがでしたでしょうか。平均算のいわゆる難問には、逆比の考え方を利用すると解きやすい問題が多くあります。ぜひ挑戦してみてくださいね。

投稿者 寝太郎 : 11:11 | コメント (0) | トラックバック(0)

2007年01月10日

逆比の活用３

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

文章問題（文章題）の「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係」の第２弾です。前回は、２人あるいは２つのものの速さとかかる時間の関係を考えましたが、今回は３人あるいは３つのもので考えてみたいと思います。応用力を養う上での代表的な問題、ぜひチャレンジしていただきたい問題を取り上げますが、レベル的には中級ぐらいかもしれません。あらかじめご承知おきを。それと、解くのに必要な図はありませんので、もし考えにくければご自分でかいて考えてみてください。

３とおりの速さの逆比ってどうなるの？

動くものは、点Ｐ１つしかありませんが、同じ道のり（正三角形の３つの辺）を３通りに速さを変えて移動するわけですね。したがって、かかる時間も３通りあります。

ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡまでの速さの比は１：２：３。
このことから、ＡからＢ、ＢからＣ、ＣからＡまで移動するのにかかる時間の比を求めます。この求め方が、この問題のポイントです。よく使われる２通りの解法を記しますのでお好きな方をどうぞ。

【解法１】：
正三角形の１辺の長さを１として、道のり÷速さでかかる時間を求める。１÷１＝１、１÷２＝１/２、１÷３＝１/３。１：１/２：１/３＝６：３：２…それぞれの辺を進むのにかかる時間の比。

【解法２】：
分数計算をさけて整数で計算するには最小公倍数の考え方を利用します。１と２と３の最小公倍数は６。６を正三角形の１辺の長さとして考えます。道のり÷速さでかかる時間を求める。６÷１＝６、６÷２＝３、６÷３＝２。６：３：２…それぞれの辺にかかる時間の比。

整数計算の方が簡単ですぐれているように見えるかもしれませんが、安易に最小公倍数にたよりすぎるのは危険です。場合に応じてどちらもできるようにしておくことをおすすめします。

６＋３＋２＝１１…周上を１周するのにかかる時間の合計。３３÷１１×６＝１８（秒）…ＡからＢまでにかかる時間。１×１８＝１８（ｍ）…正三角形の１辺の長さ。１８×３＝５４（ｍ）。

これは逆比の問題？

もう１題、上の問題とよく似た問題を取り上げますのでどこがちがうかよく考えてみてくださいね。これは逆比の考え方ではなく、「」でそれぞれの速さを表そうとするものですね。上の問題でも、逆比といっても「道のり÷速さ」の考え方を利用しているんですけどもね。要は、「速さとかかる時間」の逆比の関係を感覚的につかんでおいてほしいということです。

文章問題を解く上でのコツは、長い文章をいくつかに切ってそれぞれのパートから何が分かるかを考えることです。
上の問題とちがってまわりの長さが初めから分かっていますね。それから、旅人算では「同時に」という意味を考えることがたいへん重要ですね。
３つの点がこの三角形を１周してもとの頂点にもどるまで進んだ道のりは、三角形のまわりの長さですから同じです。したがって、まず、「かかった時間は、ＢはＡの３分の１、ＣはＡの５分の１」に着目して、Ａ、Ｂ、Ｃ３つの点が同じ道のりを進むのにかかる時間の比を求めます。
Ａを１としていることから、かかる時間をＡ＝１、Ｂ＝１/３、Ｃ＝１/５とします。これを整数の比にすることは必要ありません。そして、この三角形のまわりの長さを１として速さの比を求めます。
（１÷１）：（１÷１/３）：（１÷１/５）＝１：３：５…Ａ、Ｂ、Ｃの速さの比。
「同時に同じ方向に辺にそって動いたところ、次の頂点にＡ、Ｂ、Ｃとも同時に着きました」をよく読み解こう。同じ時間で進む道のりの比は速さの比に等しいから、この三角形の辺の長さの比も１：３：５になる。そして、求めるのは最も長い辺で５に当たる辺である。
２７０÷（１＋３＋５）×５＝１５０（ｍ）。

以上で説明を終わります。「３人あるいは３つのもので」で逆比という、ちょっと強引な説明をしましたけれども、「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係は逆比である」ということを意識していただければ幸いです。

投稿者 寝太郎 : 11:59 | コメント (0) | トラックバック(0)

2007年01月08日

逆比をつかいこなそう！(2)速さとかかる時間

逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかを、具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。

まずはその第一弾。文章問題（文章題）の「道のりが一定の時の速さとかかる時間の関係」を取り上げます。代表的な逆比のセットですね。次に説明する問題は、「差集め算（差集算）」といわれる文章題の例題としてよく取り上げられます。参考書によっては「差集め算」という名の文章題は出てこないかもしれませんので「旅人算」の１種だと考えていただいてさしつかえありませんけども。
では、ご紹介しましょう。

速さとかかる時間は逆比

差集め算の解法

「逆比の解法の特性」を考えるため、一般的な差集め算の解法と逆比の解法を記します。まずは、差集め算の解法です。
差集め算というのは、「１つの差」がいくつか集まって「全体の差」になっていることに着目して解く文章題です。「つるかめ算」と同様、仮定して考えるという側面を持っています。ここではくわしくは触れませんが、次のような線分図で考えます。

時速で計算するのがふつうですが、あえて分速に直して計算しますね。
時速７.２ｋｍ＝分速１２０ｍ、時速６ｋｍ＝分速１００ｍ。
Ａ地からＢ地まで分速１２０ｍで□分かかったと仮定する。同じ道のりを分速１００ｍで□分進むと、Ｂ地までたどり着けない。そして、分速１００ｍでさらに１５分進むとＢ地に着くことになる。

１２０－１００＝２０（ｍ）…１分で進む道のりの差。１００×１５＝１５００（ｍ）…□分間での差の集まり。
１５００÷２０＝７５（分）…□（分速１２０ｍで□分かかる）。
１２０×７５＝９０００（ｍ）＝９（ｋｍ）…Ａ地からＢ地までのきょり。

いかがでしょうか？　差集め算の解説が目的ではありませんので、これぐらいにします。さて、次は、本題の逆比による解法です。図はありません。

逆比による解法

「道のりが一定の時、速さとかかる時間は逆比の関係にある」ということを知っているということが前提になります。

Ａ地からＢ地まで進む速さの比は、Ａ：Ｂ＝７.２：６＝６：５。したがって、Ａ地からＢ地までかかる時間の比は逆比で、Ａ：Ｂ＝５：６。
１５分が、６と５の差１に当たることになる。１５×６＝９０（分）…Ａ地からＢ地まで時速７.２ｋｍでかかる時間。
９０分＝１.５時間。７.２×１.５＝９（ｋｍ）…Ａ地からＢ地までのきょり。

いかかですか？　ざっと、これが算数の逆比による解法です。

さて、念のためもう１題。上の問題と似た問題でやはり差集め算。今度は速さが分からなくしてあります。逆比による解法のみを記します。

Ａ地からＢ地までかかる時間の比は、Ａ：Ｂ＝２０：１５＝４：３。したがって、Ａ地からＢ地まで進む速さの比は逆比で、Ａ：Ｂ＝３：４。
速さを増した毎分２０ｍが、４と３の差１に当たることになる。２０×３＝６０（ｍ/分）…Ａ地からＢ地まで２０分かかった時の分速。
６０×２０＝１２００（ｍ）＝１.２（ｋｍ）…Ａ地からＢ地までのきょり。

「道のりが一定の時、速さとかかる時間は逆比の関係にある」は、逆比の関係ではいちばん重要なものだと思いますので、最初に取り上げてみました。

投稿者 寝太郎 : 15:53 | コメント (0) | トラックバック(0)

2007年01月07日

逆比は超強力魔法だよ♪

受験レベルでの算数の考え方、いや、一般的な算数の解法でとても重要なものの１つに逆比（反比例）というものがあります。
皆さんは、逆比による解法を十分理解し、それを活用していますか？　比と逆比（反比例）は対になった大事な考え方です。とはいうものの、いつの間にか算数から消えて中学生の数学で習うことになってしまいましたね。そして、中学や高校の数学では表立って取り上げられることは少ないかもしれません。でも、算数の世界に限っても、難問を解く上での超強力魔法だと断言できます。

逆比って何？

ごぞんじの方も多いと思いますが、逆比というものを簡単に説明しておきましょう。
逆比というのは反比例という言葉に置き換えると、正比例とセットになった言葉ですが、ここでは逆比についてのみ考えます。「比と逆比」というと、少しニュアンスが変わってきますので。

逆比というのは、簡単に言うと、２つの数量の積が一定の関係です。
２つの数量Ａ、Ｂがあって、Ａが２倍、３倍、…となると、Ｂは２分の１、３分の１、…となっていくという関係です。また、Ａが２分の１、３分の１、…となると、Ｂが２倍、３倍、…となっていく。具体的には、

（Ａ，Ｂ）＝（１，６０）、（２，３０）、（３，２０）、（４，１５）、（５，１２）、（６，１０）…、といった２つの数量の関係です。Ａが１の時Ｂが６０という意味です。
１×６０＝６０、２×３０＝６０、３×２０＝６０、４×１５＝６０、５×１２＝６０、６×１０＝６０…
Ａ×Ｂ＝６０。ＡとＢの積が常に６０で一定ですね。

ついでに言うと、積が一定という関係は、計算の仕組みと工夫をする上で重要なテクニックでもあります。たとえば、
２０００×０.１２５なんて計算は、２×１２５と計算すると、小数計算しなくてすみますね。また、ここではくわしくは触れませんが、複雑な数学の計算を理解する上での大事な考え方でもあります。

比と逆比の関係を理解しよう

まず、比ありきです。まず簡単なものから。
比では２つの数量ＡとＢの割合をＡ：Ｂ＝１：３などど書き表します。この１：３を前後の数を逆にして、Ａ：Ｂ＝３：１と書き表したものを逆比といいます。単純にＡ：Ｂと書いていますが、上と下では表している数量が異なります。ＡとＢの何かが１：３（ＢはＡの３倍）だと、ＡとＢの別の何かは３：１（ＢはＡの３分の１）になるということですね。

今度はこういうのを。これが一般的な比の表し方です。２つの数量ＡとＢの割合をＡ：Ｂ＝３：２などど書き表します。この３：２を前後の数を逆にして、Ａ：Ｂ＝２：３と書き表したものを逆比といいます。Ａ：Ｂ＝３：２だから、Ｂ：Ａ＝２：３は逆比だとは言いません。
１個の値段の比は、Ａ：Ｂ＝３：２だから、同じ金額で買える個数の比は、ＡとＢでは２：３。つまり、「１個の値段の比」と「同じ金額で買える個数の比」は逆比であるということを表しているのです。

ついでによく見かける逆比のまちがいを。比の表し方の特徴は、３つ以上の数量の割合を表せるということです。
Ａ：Ｂ：Ｃ＝１：２：３の時、Ａ、Ｂ、Ｃの逆比は３：２：１にはなりません。たとえば、同じ道のりを進む時、Ａ、Ｂ、Ｃの３人の速さの比が１：２：３の時、かかる時間の比は、Ａ、Ｂ、Ｃ＝３：２：１にはなりませんね。正しくは、６：３：２です。

逆比の書き表し方には決まりがありませんが、私は次のように書けばいいんじゃないのと小学生に教えています。算数は、数学のように未知数（変数）を使わないですね。これが算数のいいところでもあります(‥;)。
・１個の値段の比…３：２→逆比で２：３…個数の比。※→の上に逆比と書く。

逆比になることなる数量の比はセットだよ

逆比になるものは、Ａ×Ｂ＝積（一定）のＡとＢの関係で、「逆比になることなる数量の比がセットになって決められている」です。
算数の問題で逆比を活用するためには、まずどのような数量の比のセットが逆比になるのかを覚えなくてはいけません。「積」になるものは何か？　その時のＡとＢの数量はどのようなものか？を考えなければなりません。そして次は、いろいろな問題の中から、この部分は逆比になるということを自分で見つけなくてはなりません。逆比を使いこなすにはやはり意識的に練習する必要があるかとは思いますが、難しい問題では、逆比を使いこなすと楽になるというケースがたくさん出てきます。

どのようなものが逆比になるか考えよう

最後に、どのような数量の比が逆比というセットになるのか基本的なものを具体的にいくつか挙げておきますね。

・同じ面積の長方形の縦の長さと横の長さ。
・同じ面積の三角形の底辺と高さ。
・同じ体積の角柱や円柱の、底面積と高さ。
・道のりが一定の時、速さとかかる時間の比。
・かみ合っている２つの歯車の歯の数と回転数。
・一定の仕事をする時、働く人数と仕事にかかる日数。

その他、高度な旅人算、食塩水の濃度、平均算など、いわゆる難問では逆比が最大限に活用できます。

上に挙げた例だけでは、逆比というものが算数の解法の道具としてどれだけ有効なものかいま一つピンとこないと思いますので、これより先は具体的な問題を実際に解いて解説していきたいと思います。ただし、初心者向けというよりは、ある程度算数の基本が分かっている方向けですのでご承知おきくださいね。

投稿者 寝太郎 : 12:07 | コメント (0) | トラックバック(0)