３種類の箱Ａ、Ｂ、Ｃがあり、Ａにはりんご２０個、Ｂにはなし３０個、Ｃにはかき５０個が入っています。果物の値段の合計は７２００円で、一番高い果物と一番安い果物の１個あたりの値段の差は６０円です。ＡからりんごをＢに、ＢからなしをＣに、ＣからかきをＡにそれぞれ同じ数ずつ移したところ、箱に入っている果物の値段の合計は、Ａが２４０円下がり、Ｂが４８０円下がりました。このとき、次の問いに答えなさい。
（１）りんご、なし、かきを１個あたりの値段が高い方から順に並べなさい。答だけでよい。
（２）それぞれの箱から何個ずつ移しましたか。
（３）かき１個の値段を求めなさい。
愛光中_２番の問い…中級ではやや難しめ。差集算・中級

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差集算の問題（中級）

差集算(差集め算)は、過不足算と対になった文章題ですが、両者に共通な考え方は、「１個あたりの差と全体の差」です。
（１）、（２）、（３）ときれいな誘導問題で、小学生に解かせるのに計算も考え方も無理がなく、きちんと考える力を問う良問だと思います。たとえば、（１）と（２）をとばして（３）の問いだけにすると問題のレベルが上級レベルにはね上がってしまうしまうかもしれません。あえてそれをせずに誘導問題にするという受験者の立場に立った親切設計だと思います。誘導問題でありかつ考えさせるレベルを保った問題を作るというのは、実は難しいんですね。

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東西にのびる線路があります。ある時Ａ君が線路の近くに立っていると、西から特急、東から急行が近づいてきてＡ君のちょうど目の前ですれちがい始めました。すれちがい始めてから１０秒後に線路の向こう側が見えました。特急と急行の列車の長さがそれぞれ２００ｍ、１６０ｍで、速さの比が３：２であることが分かっているものとして、次の問いに答えなさい。
（１）特急と急行の速さはそれぞれ秒速何ｍですか。
（２）Ａ君の真東にいたＢ君も同じ特急と急行を見ていました。Ｂ君の目の前を急行が通過し始めてから、特急が通過し終わるまでの１６と２/３秒間はずっと線路の向こう側は見えないままでした。Ａ君とＢ君の間の距離(きょり)を求めなさい。
甲陽学院中_１日目５番の問い…中級ではやや難しめ。通過算・中級

通過算の問題（中級）

旅人算ファミリーの一員として通過算があります。旅人算の考え方をベースに「動くものの幅（長さ）」を考え、「出会い」とか「完全に通過する」とか、いろんな基本事項の習得に加え、いろんなバリエーションがあっておもしろい問題作成が可能な文章題です。おっと、それをやらされる受験生の皆さんにとってはたまったもんじゃないかもですね(-_-;)。
でも、計算も含めて無理のない良問だと思います。

分数５１/８２を小数に直していくときの、小数第１位(１/１０の位)にある数を１番目の数、小数第２位(１/１００の位)にある数を２番目の数、…とします。
次の問いに答えなさい。
（１）１０番目の数を答えなさい。
（２）１番目の数から１００番目の数までをすべてかけてできた数には，一の位からＯが続けて何個並んでいますか。
（３）１番目の数に２番目の数を加え，さらに３番目の数を加え，……と，順に，次々と数を加えていきます。加えてできた数がちょうど２００７になるのは，何番目の数までを加えたときですか。
筑波大学附属駒場中・１番の問い…中級問題の標準。規則性の問題・中級

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規則性（周期）の問題（中級）

規則性の問題は、代表的なものに「数列」と「周期性」があって、これの複合問題もあります。まず、「周期性」の基本的な考え方をしっかり押さえておかないと複合問題には太刀打ち出来ません。ちなみに「数列」というのは、今では高校数学の数Ｂでいきなり登場、「ベクトル」と並んで数学の大きな壁になっているような。「オレ、数学だめだ(-_-;)」となるのかも。でも、中学入試ではふつうに出題されますからね。
ここで取り上げる問題は、「周期性」の基本をよく理解しているかを問う問題で、けっして難問で「いじめよう？」なんてものではなく、出題された先生の意図がはっきり分かる良問だと思います。しっかり理解出来ていないとひっかかります。基本的な総合力がないと解けないかもしれません。

【解法】：
（１）５１/８２＝５１÷８２＝０.６｜２１９５１｜２１９５１｜２１９…、と、小数第１位の１番目の「６」以降、２番目からは「２１９５１」の５つの数のくり返し。計算力も問われます。

１０番目の数だから、数えた方が早いかもしれませんが、しっかり式を立てて解く習慣をつけておかないと、１００番目なんてことになるとこけます。
１０－１＝９。９÷５＝１あまり４。この意味をつかむことが大切。「２１９５１」の５人？から成る組（クラス）を考えると、２組の初めから４人目の人ということですかね。
４人目は「５」だから、５。

（２）今度は、周期性に整数の積が加わってます。簡単に言うと、「５の倍数に偶数をかけると０が１つ出来る」です。よく出題される問題は、２５の倍数なども考えなければならないのですが、この問題は「２１９５１」の「２×５＝１０」で０が１つ出来るというシンプルな仕組みになっています。おそらく、０.６｜２１９５１｜…という循環小数を先に設定してこれを分数に直されたのでしょうね。
１００－１＝９９。９９÷５＝１９あまり４。あまりの４には「２１９５」と２と５がある。１９＋１＝２０。したがって、２０個。

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(３)これは、周期性の問題に取り組み始めた時に、多くの子供が最初にはまる落とし穴があります。
２＋１＋９＋５＋１＝１８で、１組（クラス）５人の合計は１８。
１番目の６を先に引いて、２００７－６＝２００１。
２００１÷１８＝１１１あまり３。１８が１１１組。つまり、５人の組が１１１組。「あまりの３」がくせもので、３＝２＋１と考えるんです。３は和で、組の人数ではないから、うっかり？「＋３」とやっちゃうんですね。
１＋５×１１１＋２＝５５８で、５５８番目。

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次の例のように、ある分数を、分子が１で分母が異なるいくつかの分数の和で書き表すことを考えます。
２/３＝１/２＋１/６、２/３＝１/３＋１/４＋１/１２など。
１３/２０＝１/２＋３/２０＝１/２＋１/７＋１/１４０，
１３/２０＝(１０＋２＋１)/２０＝１/２＋１/１０＋１/２０など。
次の(１)、(２)の分数について、このような表し方を１つ答えなさい。
(１)１３/１８ (２)５/１３ 麻布中・４番の問い…中級問題の標準。単位分数の和・中級

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分数を単位分数の和に分解する（中級）

時々出題されるパズルっぽい問題です。麻布中らしいですね。答えは１とおりではありませんから、答えを２つか３つぐらい書かせると出来る子と出来ない子の差がついたかも(‥;)。
古代エジプトでは、２/３という大きさの分数を１/２＋１/６などと単位分数の和で表していたそうです。

【解法１】：古代エジプト式？（分母が最も小さくなる単位分数を次々に取り入れていく）
☆初めに、次のようなことを考えてみましょう。２/３を単位分数に分けるんですが、分数だけでは考えにくいかもしれませんので、ピザパイで(‥;)。

２枚のピザパイを３人に公平に分けることを考えましょう。もちろん、１人１枚というわけにはいかない。さて、どうするか？
２枚のピザパイをそれぞれ２枚に切って４切れにすれば、１人１/２枚食べることが出来る。残ったピザパイ半分（１/２枚）をどうするか？
またこれを３等分すればいい。１/２枚を３等分すると１/６枚。
したがって、２/３＝１/２＋１/６って具合に単位分数の和に出来ますね。

【解法２】：分母を倍分（約分の反対で、分母分子に同じ数をかける）し、分子を分母の異なる約数の和で表す。
☆ある数をその数の約数で割ると、必ず割り切れることを利用します。
たとえば、３は６の約数。６÷３＝２で割り切れる。これを分数の約分で使うと、３/６＝１/２で単位分数になる。
この問題のヒントに、１３/２０＝(１０＋２＋１)/２０とありますね。１０、２、１はすべて２０の約数です。これを利用するんです。
２/３＝４/６。４/６＝(１＋３)/６＝１/６＋３/６＝１/６＋１/２。

ついでに言うと、単位分数自身も別の分母の異なる単位分数の和として表すことが出来ますので、和を長くしてもいいのなら、次のようなのもありです。
・１/４＝２/８＝(１＋１)/８＝１/８＋１/８…分母が同じになるから×。
１/４＝３/１２＝(１＋２)/１２＝１/１２＋１/６…○。

【式と答え】式と答え：

(１)【解答例１】１３/１８＝１/２＋２/９＝１/２＋１/５＋１/４５。
【解答例２】１３/１８＝２６/３６＝(２＋６＋１８)/３６＝２/３６＋６/３６＋１８/３６＝１/１８＋１/６＋１/２。

(２)【解答例１】５/１３＝１/３＋２/３９＝１/３＋１/２０＋１/７８０。
【解答例２】５/１３＝３０/７８＝(１＋３＋２６)/７８＝１/７８＋３/７８＋２６/７８＝１/７８＋１/２６＋１/３。

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下の図のように正方形が２つあり、小さい正方形の中に円がある。斜線部分の面積は□ｃｍ²である。
灘中_１日目・１０番の問い…中級問題の標準。面積・中級

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正方形と内接する円の面積の関係（中級）

この問題が解けるかどうかは、ひとえにポイント２を理解しているかどうかにかかってきます。面積解法の中級のTipsだと思います。式はほとんど同じですが、２通りの解法をご紹介します。

【解法１】：
☆円の面積＝半径×半径×３.１４。ふつうは、先に半径の長さを求めるが、要は「半径×半径」が分かれば、それに３.１４をかけると内接する円の面積を求めることが出来る。
下の図から分かるように、「半径×半径」は、外側の正方形の面積の４分の１に当たる。

【式と答え】式と答え：
５＋３＝８、８×８＝６４（ｃｍ²）…外側の正方形の面積。
３×５÷２×４＝３０（ｃｍ²）…４つの直角三角形の面積の和。
６４－３０＝３４（ｃｍ²）…内側の正方形の面積。
３４÷４＝８.５（ｃｍ²）…半径×半径。
８.５×３.１４＝２６.６９（ｃｍ²）…円の面積。
３４－２６.６９＝７.３１（ｃｍ²）…斜線部分の面積。

【解法２】：
☆正方形と内接する円の面積の関係を割合で考える（中級）
円の半径を１とする。１×１×３.１４＝３.１４…円の面積。
１×２＝２…正方形の１辺。２×２＝４…正方形の面積。
正方形の面積：円の面積＝４：３.１４。
３４×３.１４/４＝２６.６９（ｃｍ²）…円の面積。
以下、【解法１】と同じ。

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円と内接する正方形の面積の関係（中級）

ついでに、円とそれに内接する正方形の面積の関係を覚えておきましょう。やはり、正方形の１辺の長さや円の半径が分からなくとも、円あるいは正方形の一方の面積が分かれば、もう片方の面積を求めることが出来ます。

下の図のように、円の内側に正方形がぴったりくっついています。正方形の面積は４０ｃｍ²です。色を塗った部分の面積を求めなさい。

【式と答え】：
半径×半径が正方形の面積の半分であることに着目するとよい。
４０÷２＝２０（ｃｍ²）…半径×半径
２０×３.１４＝６２.８（ｃｍ²）…円の面積。
６２.８－４０＝２２.８（ｃｍ²）…色を塗った部分の面積。

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父、母、兄、弟、妹の５人家族がいます。 ５人の年齢（れい）の平均は２１才です。兄は弟より１才年上で、弟は妹より４才年上です。また、父は母より３才年上で、父、母の年齢の平均は子供３人の年齢の平均より２７．５才上です。次の問いに答えなさい。
（１）子供３人の年齢の平均は何才ですか。
（２）５人の年齢は、それぞれ何才ですか。
淳心学院中_３番の問い…中級の入門問題。平均算・中級

参考：
☆２１－２７.５÷（２＋３）×２＝…１０（才）…子供の年齢の平均。こういう解法もあります。
「平均算を逆比で解こう」

「電話帳」？全国・国私立中学入試問題集

皆さんは、通称「電話帳」と呼ばれる全国・国私立中学入試問題を網羅した書籍をごぞんじでしょうか？
数社の学参出版社から毎年今の季節に刊行されて書店の店頭にも並べられています。

私のところにも、年末のゴブラン織りのカレンダーとともにこの「電話帳」が今の季節送られて来ます。今年もまた、数日前に最新版がおくられてきました。けっこう分厚い書籍ですので、十冊以上になるとかなり本棚の場所を取ります(‥;)。
私が手にするのは、教学研究社という出版社からのものですが、算数の学参・問題集を手がけている関係で分冊になった薄手の算数だけのものもいっしょに送られて来ます。一般書店では手に入りませんが、塾などでこの算数だけのものを夏休みなどにやらせるケースもあります。今年の問題ですので、市販の学参・問題集と問題がかぶることがないというメリットがあるんですね。
市販の学参・問題集も、こういった最新版から過去数年の「全国・国私立中学入試問題集」から適当な問題をピックアップして作製されることになります。

私立中の今年の算数の入試問題は？

この書籍が送られてくると、私は期待に胸ふくらませ？？、ぱらぱらと目を通すわけですが、習い性と成るというやつで、どうしても難関校の問題に目がいってしまいます。(-_-;)

今年の算数の問題の出題傾向？という話題は、別に取り上げたいと思います。ここでは、２００７年春に全国で実施された国私立中学の算数の入試問題の中から、「ぜひその解法を知っておいていただきたい」と思う問題を厳選し、その問題を解くにはどのようなことを知っていないといけないかを分析し、解法のTipsをご紹介します。

算数の良問を解こう ♪

算数に限らず、数学であっても同じですが、学力向上には欠かせないプロセスがあるように思います。
まず、学習する単元の基礎学力をじゅうぶん身につける。それから、初級、中級、上級とステップを踏んでいわゆる「良問」にじっくり取り組み、式を書いて考え、解法を理解し、身につける。後は、その反復練習。
入試も含めた実力テストでは、自分のものとした多くの解法パターンの中からその問題を解くにはどれが必要かを考えるのですね。

少し話がそれますが、今の高校では公立、私立を問わず、国公立進学対策として特別クラスを編成し、教科書、問題集共にレベルの高い内容のものを選び、どんどん先に進めていくというケースが目立ちます。
それはそれでいいのですが、まず基礎学力ありきです。ただでさえ、高校数学の公式のたぐいは数多く、しかも複雑です。いきなり解法パターン中心で数学に取り組むと、やる気があっても途中で挫折するかもしれません。

ただ、基礎学力をじゅうぶん身につけたら、次に取り組むべきは教科書や学参の例題、いわゆる「良問」です。学校別の出題傾向に沿った対策はその次にくるものだと私は考えます。

どのような問題を取り上げるか

「全国・国私立中学入試問題集」全体の問題を基準に、初級、中級、上級と３ランクに分け、「中級」と「上級」の問題の中からこれはという良問を取り上げます。さらに、「中級の入門レベル」、「上級の難問」といったコメントを出来るだけ入れてより難易度を明確にしたいと思います。むろん、私の主観的判断ですが。「初級」は「楽学考房・算数の道場」でどうぞといいたいところですが、Web上のHTMLの制約もあって、テキストベースの説明では難しく感じられるかもしれません。

取り上げる問題はランダムで、不定期更新になるかもしれません。ご承知おきを。

有名校の問題ももちろん取り上げますが、いろんな中学の問題も取り上げます。特殊解法によるものより、応用範囲の広がる問題を優先して取り上げます。取り上げる基準はあくまで私の独断と偏見によるものです。

取り上げた問題で、それを解くにはどのようなことを知っていないといけないかを分析します。それを理解するにはどういった単元、考え方をこれから学習して身につけなければならないかのご参考にしていただきたいからです。

解法は、私の判断した個人的な解法です。これでなければというものではけっしてありません。元来、算数・数学の解法は１通りでないのがふつうです。時間が許せば、こういう解法もありますよということで、併記するつもりではおりますが。

覚える気あるの？

以前に、友寄英哲（ともより　ひであき）さんの友寄式記憶術をご紹介させていただきました。今度は、お気軽に試せる暗記法について。

さて、子供たちが学校の宿題の漢字を書いているのを見る機会があります。漢字ノートに１つの漢字を１行に１０個というやつですね。おー、熱心、感心、そこまではいいんですが、うん？　ところが、先に部首だけ１０個書いているのを見かけたりするんです。英語の宿題だと、英文をノートに写すのはいいんですが、目でそのまま写しているというのが目立つんですね。

漢字を１０個も書くのは、覚えるためじゃなかったの？いかにもいやいや宿題やってるって感じ(‥;)。どうやら、頭の中で覚えてから写すという感覚が欠けているようです。

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覚えると思い出す

英語の「remember」という単語には、「覚えている」と「思い出す」という２つの意味があるのはご存知だと思います。正確に言うと少しちがうのですが、「覚える」のと「思い出す」のはセットになった行為のような気がします。覚えていなければもちろん思い出すことは出来ないし、思い出そうという行為がなければだんだん忘れていくというイメージです。

筋肉が伸びる・縮むということでセットになっているのと似ているのではないでしょうか。でないと、「覚えることを忘れ、忘れることを覚える」という循環にはまってしまうでしょう。

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暗記ゲーム

日本語には熟語というものがあって、いちばん多く使われ目にするのが二字熟語ですね。
ところが、その読みが難しい。なんせ、音読みと訓読みの組み合わせが４とおりもある。おまけに、アルファベットと違って読めなければ国語辞典も引けやしない。

子供たちは、読めなくても平気なのか？　答えはYesとも言えるし、Noとも言えるかもしれません。なぜなら、今の子供たちは、けっこう「読みに飢えている」と断言出来ます。小学生のみならず、中学生や高校生も例外ではありません。

たとえば、次のような熟語の読みゲームをやると、皆興奮して熱中します。
こんな感じでやります。人数は４人×４列で１６人ぐらい。これは少なくても多くても問題ないでしょう。

まず、縦のますとますがそれぞれ１０個ある表の中に二字熟語を全部で１００個書いたプリントを用意して、全員に持たせる。下のはサンプルで、縦横５行、５列ですが。小学４年生では、ちょい難しめですね。

さて、ゲームの進め方の一例。いろんなパターンがあると思いますが。
・ある列の子供たちを前（後ろ）から順に指名して、たとえば３の列１０個の二字熟語の読みを読ませる。まちがったり読めなかった時は、「読める者」と手を挙げさせて読ませる。１つでもまちがったり読めなかった者は、立ったまま。

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・思い出すとは？

先ほど、子供たちが「目でそのまま写している」と書きましたが、これは単なるコピーなんですね。
「覚える」ことと「思い出す」ことの間に介在させておくといいものは何でしょう。私は、その１つに「頭の中のホワイトボード」をあげたいと思います。

たとえば、熟語の書き取りを練習する時には、紙に書きますね。と同時に、目をつぶって頭の中のホワイトボードにも書きこむんです。そして、思い出す時は再び目をつぶって頭の中のホワイトボードに書かれたものを取り出す。えっ？　何もないって？　
思い出す時に、残っているようにするのが訓練なんですよ(‥;)。ちょっと強引なたとえでしたが、試験の時に頭の中のホワイトボードから引き写しても、それはとがめられるようなことではないですし。

小学生の二字熟語の読みのプリントは、以下のコーナーにあります。 小学生の漢字の読みがやさしいとは限りませんので、暗記ゲームをやってみようかと思われる方は、ご自由にダウンロードしてください。

「楽学考房・国語・ダウンロードコーナー」

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２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（６）

さて、最後に「積と商」から２つの数を求めるというのを取りあげてみます。こんなのは初めてという方もおられるかもしれませんね。 でも、私立中学の入試レベルでは、必要な場合もある解法です。
私は、「積と商」から２つの数を求める解法を「積商算」と勝手に命名してます。「和差算」があるなら、「積商算」があってもいいと思いませんか(‥;)。

小学校で習う算数で「文章問題」というのは事実上深くあつかうことはありませんが、数多くある文章題というものは、算数・そして数学につながる大事な考え方の「型（パターン）」を訓練するものだとも言えると思います。
算数・数学に強くなるためには、小学生のうちに「文章問題」に強くなろうとお勧めするのもそういった理由の１つです。

積商算？の問題

具体的には、こんな問題です。

【問題】：
☆２つの整数があって、その積は１２で、その商は３（大きい数を小さい数でわった答え）です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

いかがでしょう？　こんな問題やったことありますか？
　

こんな感じで、小学生は解けると思います。

すると、２つの数の積は、□×（□×３）＝□×□×３。
□×□×３＝１２となり、□×□は、１２÷３で４です。 □×□＝４。４になる□を考えます。２つある□は同じ数ですので、２ですね。例によって、－２（マイナス２）は考えないことにします。

「平方根」の考え方

実は、これは、中学で習う「平方根」の考え方そのものなのですね。
こんなの小学生に解けるのと思われる方も多いと思います。

そこで、たとえば、３６の約数を考える場合、次のようにやります。
３６＝１×３６、２×１８、３×１２、４×９、６×６。
今まで取りあげた数の約数の場合とちがって、最後が６と６と同じになってしまいましたね。

３６のような同じ数の積で表せる数を「平方数」と言います。
１（１×１），４（２×２），９（３×３），１６（４×４），２５（５×５），…とたくさんあります。
こういった平方数に親しんでおくことも、将来数学に取り組んだ時には役立つと思います。

もう少し難しい平方数を

もう少し？、難しいのをやってみましょう。

【問題】：
☆２つの整数があって、その積は１１５６で、その商は４（大きい数を小さい数でわった答え）です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

ええっ！！て感じでしょうか。でも、いちおう解いてみますね。

小さい方の整数を□とすると、大きい方の整数はその４倍なので、□×４と表すことができます。

２つの数の積は、□×（□×４）＝□×□×４です。
□×□×４＝１１５６となり、□×□は、１１５６÷４で２８９です。 □×□＝２８９。２８９になる□を考えます。
無理だとお思いですか？

こんな感じで解きます。
１０×１０＝１００、２０×２０＝４００なので、□の十の位は１。 □の一の位の数字の積の一の位が９であることに着目。

３×３＝９、７×７＝４９で、この２とおりの場合しかない。
１３×１３＝１６９、１７×１７＝２８９なので、□＝１７。１７×４＝６８。
求める２つの整数は、１７と６８。

今回で「２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題」シリーズはおしまいです。ややパズルのような問題もありましたが、こういう問題に取り組んでいると知らず知らずのうちに算数・数学の総合的な学力が向上していくというものだと思います。
がんばってくださいね。

２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（５）

「差と積」の次は、「差と商」。
「和と積」、「差と積」がちょい数学っぽかったですが、この「差と商」は、「和と商」とセットになる重要な考え方です。分配算と呼ばれる「量と割合」を線分図で考える算数の基本となる問題ですので、私立中学を受験するしないにかかわらず、小学生のうちにぜひマスターしておいてほしいと思います。
では、さっそく問題。

２つの数の差と商の問題

【問題】：
☆２つの数ＡとＢがあって、ＡとＢの差は３６でＡをＢで割った商は５です。２つの数はそれぞれいくらですか。

「ＡをＢで割った商は５」ということは、ＡはＢの５倍ということ。「ＡとＢの差は３６」ということと「ＡはＢの５倍」ということを線分図で表すと、次のようになります。「和と商」の問題とどこがちがうのかをよく考えてください。

この線分図で、どのようなことが分かるか？
初めてやると、線分図かいても分からないのがふつうだと思いますから、分からなくとも気にしない、気にしない(^^)。
そう？、「ＡとＢの差３６」が、５－１＝４で、「Ｂの４倍」になっていることですね。
したがって、３６÷４＝９で、まず、Ｂ＝９が求められます。Ａは、９×５＝４５でも、９＋３６＝４５。
【答え】Ａ＝４５、Ｂ＝９

数量を割合で割る考え方

何だ、前にやった「和と商」と同じ９と４５じゃあないかとお思いの方もおられるでしょうね。そう、わざと同じにしたんです。なぜ「和」の場合は「５＋１＝６」で割る、「差」の場合は「５－１＝４」で割るのか考えてください。

分配算などの割合の問題では、線分図で数量と割合の両方が分かるところを見つけ、数量を割合で割って、もとにする量（１）を求めるという考え方なんです。これは、とても重要な考え方ですよ。

次回は、このシリーズの最後で「積と商」、そう、「積商算？」です。

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２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（４）

前回までは「和と差」「和と積」「和と商」から２つの数を求める「和と～」シリーズでしたが、今回からは「差と～」シリーズです。と言っても「差と積」と「差と商」の２つです。いや、「積と商」が残っていますが(‥;)。

「和と積」の時と同様、２つの数の「差と積」が分かれば、やはり２つの数を求めることが出来ます。算数よりむしろ数学と関係が深いのも同じで、この２つはセットで考えてください。
では、さっそく問題。

２つの数の差と積の問題

【問題】：
☆２つの整数があって、その差は１０で、その積は９６です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

「和と積」の時と同様、まず、２つの数の積が９６であることから２つの数の組み合わせを考えます。

９６＝１×９６、２×４８、３×３２、４×２４、６×１６と、まだ８×１２があるのですが、６×１６で、１６と６の差が１０と分かるので８×１２は書かなくてもいいですね。２つの約数の差はちぢまっていきますので。後は、かける数がかけられる数より大きくなって差はくり返し。１６×６も差が１０だけど、これはいらないということです。約数の組み合わせのうち、差が１０になるのは（６，１６）。
よって、答えは、６と１６。

。約数の求め方については、「約数の求め方を考える」をご参考に。

少し難しいのを。

【問題】：
☆２つの整数があって、その差は５７で、その積は１８０です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

前に取りあげた「和と積」の問題は、「その和は２７で、その積は１８０」でした。別に手抜きしたのではなく(‥;)、比べてほしかったんですよ。
１８０＝１×１８０、２×９０、３×６０。おっと、差が５７になるで、後はやらなくておしまい。
よって、答えは、３と５７。

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この問題を数学で解くと？

なぜ数学で解くか？　それにはわけがあります。

１つ目は、因数分解利用。
小さい方の数をｘとすると、大きい方の数はｘ＋５７（大きい方の数をｘ、小さい方の数をｘ－５７としてもよい）。
ｘ×（ｘ＋５７）＝１８０。ｘ²＋５７ｘ－１８０＝０。

（ｘ＋６０）（ｘ－３）＝０で、ｘは正（プラス）の数だから、ｘ＝３小さい数。３＋５７＝６０…大きい数。

この因数分解の解き方で解く場合、１８０＝３×６０であるということに気づかなければ解けませんね。１８０＝１×１８０、２×９０、３×６０、…の世界で、算数でやるのと変わらないことやってるんですよ。

次に、やはり同じ数学で、２次方程式の解の公式で解いてみてください。ルートの中が、５７²＋７２０＝３９６９とひじょうに大きな数になってしまいます。３９６９＝６３×６３だと分かれば解けるんですが。

いかがでしょうか？　何か、算数がいちばん速く簡単に解けるような気がしませんか。この「差と積」、また「和と積」は、算数や数学でつまずかない大切な考え方というようなものではないかもしれませんが、覚えておいていいTipの１つかもしれませんね。

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２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（３）

前回は「和と積」から２つの数を求めることを考えましたが、今回は「和と商」。

２つの数の「和と商」が分かれば、やはり２つの数を求めることが出来ます。今度は、算数。文章題で「分配算」とか「倍数算」とかいうのに相当する問題。線分図を習っていないと小学生は難しいかもしれませんが、とても重要な考え方を含んでいますのでぜひチャレンジしてみてください。

２つの数の和と商の意味

まず、「２つの数の商」とは、ある数を別の数で割った時の答えという意味で使っています。たとえば、１０÷２＝５という式は、割り算という計算の商が５であるということです。けれども、そのほかに、１０は２の５倍という意味があります。つまり、割り算の商は割合を表すという側面があるわけです。これは、超重要。
２÷１０だと、どうなるか。２÷１０＝０.２で、やはりこれも割合を表すことが出来、２は１０の０.２倍、２割、２０％、１/５などと書きますね。

２つの数の和と商の問題

では、さっそく２つの数の「和と商」の問題をやってみましょう。

【問題】：
☆２つのＡとＢがあって、ＡとＢの和は５４でＡをＢで割った商は５です。２つの数はそれぞれいくらですか。

「ＡをＢで割った商は５」ということは、ＡはＢの５倍ということですね。「ＡとＢの和は５４」ということと「ＡはＢの５倍」ということを一般的な線分図で表すと、次のようになります。

この線分図で、どのようなことが分かるか？
ずばり、「ＡとＢの和５４」が、５＋１＝６で、「Ｂの６倍」になっていることです。
したがって、５４÷６＝９で、まず、Ｂ＝９が求められます。Ａは、９×５＝４５でも、５４－９＝４５いずれの計算でも求められます。かた一方の計算を確かめに使うといいですね。
【答え】Ａ＝４５、Ｂ＝９

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数学で解くと？

ご参考までに、中学生はこの問題を数学でどう解くか？　方程式で解くということになりますね。

１つ目は、こういう式です。
小さい方の数Ｂをｘとする（Ｂのままでもいいんですけどね）と、大きい方の数Ａは５４－ｘ。
５４－ｘ/ｘ=５。５４－ｘ＝５ｘ。６ｘ＝５４。ｘ＝９…Ｂ。後は省略。

文字どおり、問題の内容をそのままｘを使った式で表した解法ですが、分母にｘを持ってきていますので、中学生に成りたての皆さんはここでこけるかも(‥;)。

２つ目は、こういう式です。小さい方の数Ｂをｘとするのは、上と同じです。
ＡはＢの５倍ということを理解して、Ａ＝５ｘとおく。
ｘ＋５ｘ＝５４。６ｘ＝５４。ｘ＝９…Ｂ。後は省略。

算数で解いた方が楽？

数学の下の解法は、実は、算数の線分図の解法と考え方が同じなんです。線分図では、Ｂ＝ｘの代わりに、Ｂ＝１としているだけです。変数（未知数）がない分、慣れればこちらの方が楽かもしれませんね。慣れれば線分図をかく必要もないですよ。

変数が１つならまだいいんですが、変数を作りすぎるのは危険です？問題によっては複雑になり、計算がたいへん。たとえば、ここでは触れませんが、ニュートン算を変数で解くには、ふつう変数を３つ使います。

ついでに。
中学生になって方程式の応用問題をやるようになると、変数を使って式で表す必要が出てきます。この場合、割り算の式で分母に変数を使って式そのものは正しいんですが、それから計算出来ないで困るというケースもよく見かけます。

何をｘ（変数、未知数）とおくかが重要です。たとえば、速さの問題で求めるものが速さだったりすると、「速さ×時間＝道のり」ですから、「時間＝時間」の式を作った場合「速さ」をｘとおくと、分母にｘがきてしまいますね。
方程式の応用問題では、必ずしも求めるものをｘとする必要はない。 たとえば、「道のり＝道のり」の式を作った場合「速さ」や「時間」をｘとおいても、かけ算ですので分母にｘがこないから計算が楽になります。

数学をやるにしても、２つ目の方程式の解法のように算数？の考え方を知ってた方がいいということでしょうか。２つの数の「和と商」なんてのは学習単元にはないですが、算数・数学の解法の見えないツボのようなもんです。

２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題（２）

前回は「和と差」から２つの数を求めることを考えましたが、今回は「和と積」。

２つの数の「和と積」が分かれば、やはり２つの数を求めることが出来ます。そして、この求め方は算数というよりむしろ数学と関係が深いです。

２つの数の和と積の問題

たとえば、２つの数の「和と積」がわかっていれば、２つの数を求めることができるなんてのは、中学で因数分解を習う時に必要ですね。
☆ｘ²＋８ｘ＋１５＝（ｘ＋３）（ｘ＋５）なんてやつです。

この場合、和が８で、積が１５の２つの数がいくらかを考えます。これを計算ではなくすぐに思い浮かべることができるように練習すると、少なくとも「因数分解」には強くなりますよ。もっとも、数学では解の公式というのがあって、因数分解出来なくても解けますけどね。

また、高校数学では、「解と係数の関係」で２つの数の「和と積」を考えます。ｘとｙを使った対称式は「基本対称式」ｘ＋ｙ（和）とｘｙ（積）の２つの式で表せるなんてのもありますね。

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２つの数の和と積の問題は算数♪

というわけで？　小学生の算数で考えることが出来るわけですから、チャレンジしてみてください。まあ、計算に強くなるための脳筋トレーニングとでも考えればいいんです。

小学生も対象ということで、正（プラス）の整数しかあつかいませんし、方程式による解法はなしということにします。２次方程式で解けますが、整数ならかえってめんどうな場合が多いですね。
さっそく、次のような問題を考えてみましょう。

【問題】：
☆２つの整数があって、その和は７で、その積は１０です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

まず、２つの数の積が１０であることから２つの数の組み合わせを考えるのが楽です。約数の世界ですね。余談ですが、「約数」に強くなるというのは、算数・数学の計算に強くなるためにたいへん重要だと思います。

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少し難しいのを。

【問題】：
☆２つの整数があって、その和は２７で、その積は１８０です。２つの整数はそれぞれいくらですか。

１８０＝１×１８０、２×９０、３×６０、４×４５、５×３６、６×３０、９×２０、１０×１８、１２×１５。これらのうち、和が２７になるのは（１２，１５）。
よって、答えは、１２と１５。

算数の約数に強くなろう！！

なんだ、めんどくさいな、と思われた方は方程式で解いてみてください。因数分解、解の公式（おっと、高校数学に行っちゃいましたね？）何でもありです。どういうことか、解いてみれば分かります。

そこで、結論。「２つの数の和と積」の世界でイメージトレーニング。約数に強くなることは、算数・数学に強くなる大事なTips！！

２つの数の和・差･積･商の組み合わせの問題

ちょっと変わった？算数の計算・考え方をシリーズで取り上げましょう。テーマは、「さまざまな解法で応用力を高める」にしておきましょう。こういうのです。

２つの数ＡとＢがあって、この２つの数の和・差･積･商のいずれか２つが分かっている時、ＡとＢがいくつか分かるか、そしていくらになるかを計算してみようというものです。

２つの数の和・差･積･商の組み合わせは、「和と差」「和と積」「和商」「差と積」「差と商」「積と商」の６つです。これを全部、その解法を考えてみようと思います。算数ですので、もちろん負（マイナス）の数はあつかいません。

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２つの数の和と差の問題

さて、第１弾は、「２つの数の和と差が分かれば」。

これは、算数の文章題で「和差算」という解法に当たります。私立中学入試を志されるお子さんたちが、最初に取り組む文章題の１つです。また、算数解法の重要なツールである線分図を学ぶための入門として位置づけられる問題です。

「和差算」の考え方を簡単に言えば、「２つの数（量）の和と差が分かっていれば、２つの数（量）を求めることが出来る」ということです。求める数のどちらかの２倍がいくらかを考えようということですね。

次のような線分図で考えることになります。初めは上の線分図の方が考えやすいと思いますが、慣れれば下の線分図で考えるといいと思います。３つ以上の数量の関係を考える場合など、応用の幅が広がります。

２倍がいくらかを線分図で考えよう！
和差算は線分図の基本だよ！

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