算数Tips集…算数の学力向上のヒント・コツやツボ
・その４… 分数のかけ算とわり算の考え方（１）
分数の計算の仕組みから考える。
「分数のかけ算とわり算の考え方」（参照：分数のかけ算とわり算の意味）は指導される方によってさまざまだと思いますが、こと計算方法に関しては、同じでしょう。
たとえば、「÷２/３」は、分母と分子をひっくり返した分数（わる分数の逆数）をかけるから、「×３/２」としてかけ算にして計算する。
ここでは、分数のかけ算とわり算を整数の計算とくらべて考えてみたいと思います。
分数は、わり算の商を表す（分子の数÷分母の数）ということと、分数には約分という計算を簡単にする方法が用意されているということが前提となる考え方です。
ついでにいうと、たとえば、１５/９＝５/３と約分するのは、１５÷９＝（１５÷３）÷（９÷３）＝５÷３と計算していると考えることができます。わられる数とわるすうをあらかじめ同じ数でわっておいても、答えは変わらず同じになります。
３でわるというのが、分数計算での約分に当たります。
まず、整数計算でこのような計算式を考えます。Ａ、Ｂ、Ｃは数を表します。
・Ａ×（Ｂ×Ｃ）＝Ａ×Ｂ×Ｃ
・Ａ×（Ｂ÷Ｃ）＝Ａ×Ｂ÷Ｃ
・Ａ÷（Ｂ×Ｃ）＝Ａ÷Ｂ÷Ｃ
・Ａ÷（Ｂ÷Ｃ）＝Ａ÷Ｂ×Ｃ
※ わり算だと（ ）をはずすと、（ ）の中の「×」と「÷」が入れかわります。
具体的な数で、どのような計算になるのかを考えてみましょう。
・１２×（６×２）＝１２×６×２＝１４４。
…１２×６とくらべて、６の２倍をかけているから、答えは１２×６の２倍になる。
・１２×（６÷２）＝１２×３＝３６。あるいは、１２×（６÷２）＝１２×６÷２＝３６。
…１２×６とくらべて、６の半分をかけているから、答えは１２×６の半分になる。
１２/１×６/２＝１２×６/２（ここで約分）＝３６。ついでに、
・Ａ×（Ｂ÷Ｃ）＝Ａ×Ｂ÷Ｃは、Ａ×Ｂ/Ｃ＝Ａ×Ｂ/Ｃという分数計算になる。
・１２÷（６×２）＝１２÷１２＝１。あるいは、１２÷（６×２）＝１２÷６÷２＝１。
…１２÷６とくらべて、６の２倍でわっているから、答えは１２÷６の半分になる。
・１２÷（６÷２）＝１２÷３＝４。あるいは、１２÷（６÷２）＝１２÷６×２＝１２×２÷６＝４。
１２÷６とくらべて、６の半分でわっているから、答えは１２÷６の２倍になる。
１２/１÷６/２＝１２/１×２/６＝１２×２/６（ここで約分）＝４。ついでに、
・Ａ÷（Ｂ÷Ｃ）＝Ａ÷Ｂ×Ｃは、Ａ×Ｃ÷Ｂで、Ａ×Ｃ/Ｂ＝Ａ×Ｃ/Ｂという分数計算になる。※ わり算の時は、わる分数の逆数をかける計算ですね。
こんどは、わられる数がわり算になっている場合。あとで出てくるじっさいの分数計算とくらべてみてください。
かけられる数が分数。
・３６÷３×（６×２）＝３６÷３×１２＝３６×１２÷３＝１４４。
３６/３×１２/１＝３６×１２/３（ここで約分）＝１４４。
かける数もかけられる数も分数。
・３６÷３×（６÷２）＝３６÷３×６÷２＝３６×６÷３÷２＝３６。
３６/３×６/２＝３６×６/３×２（ここで約分）＝３６。
わられる数が分数。
・３６÷３÷（６×２）＝３６÷３÷１２＝１。
３６/３÷１２/１＝３６/３×１/１２＝３６/３×１２（ここで約分）＝１。
わられる数もわる数も分数。
・３６÷３÷（６÷２）＝３６÷３÷６×２＝３６×２÷３÷６＝４。
３６/３÷６/２＝３６/３×２/６＝３６×２/３×６（ここで約分）＝４。
ある意味で、分数のかけ算・わり算というのは、整数のかけ算・わり算の組み合わせをまとめて計算している。かけ算グループは分子にならべ、わり算グループは分母にならべて２段にし、それから「約分」という超強力魔法で計算を簡単にしているのかもしれませんね。
次の機会に、分数のかけ算・わり算について、「割合」という側面から書き記したいと思っております。
・その５… 分数のかけ算・わり算と分数の割合
分数の割合は、なぜ分数をかけたり、分数でわるのか？
分数の計算の最後に、「分数をかける計算」と「分数でわる計算」（・その２２_分数のかけ算･整数に分数をかける〜 ）をやりましたが、ここでは計算の側面からの説明でしたので、ここで計算とからめて、分数のかけ算とわり算を「分数の割合」という面から少し考えてみたいと思います。
ある数に分数をかける
たとえば、次のような問題は、割合の考え方が必要になります。
１２の２/３はいくらか
１２の２/３は、１２を３等分したものを２つ合わせるといくらになるかという意味です。
この答えを求めるにはやはり計算しなければなりません。
割合の意味から考えると、１２÷３×２という計算です。
１２÷３×２＝１２×２÷３
＝１２×（２÷３）
＝１２×２/３で、
１２×２/３という分数計算になりますね。
こんどは、このような問題を考えてみましょう。
ある数の２/３が８になりました。ある数はいくらか。
ある数を３等分したものを２つ合わせると８になる、つまり、ある数÷３×２＝８ということですね。
ある数を求めるには、逆算して、８÷２×３と考えます。
８÷２＝４…ある数を３等分した１つ。４×３＝１２…３等分する前のある数。
これを、分数計算ですると、ある数＝８÷２×３＝８÷（２÷３）と考え、８÷２/３で、ある数１２を求める計算式ができあがります。
さて、もう１つ。割合には３とおりの考え方があります。
それは、「もとにする量」と「くらべる量」と「割合」の３つの関係をつかめるようにならないと割合を学習したことにならないからです。これは「速さ」・「時間」・「道のり」の３つの関係を理解しなければならないのと同じです。
今までやったのは、割合が分かっていて「くらべる量」と「もとにする量」を求める方法でした。いちばん難しく感じるのは「もとにする量」を求める考え方で、２つ目の説明ですね。
割合の考え方の基本は、「何倍か？」ということだと思います。
最後に、「くらべる量」と「もとにする量」がわかっていて、「割合」を求める考え方をやってみましょう。
８は１２の何分のいくらか？
１２を１とした時、８はいくらの割合になるかを最も簡単な分数で表す問題です。
また、ピザパイで…。ピザパイ１枚を切って何等分かして何切れ分あるか。
まあ、絵を見ながら、もとにする量を１として、くらべる量が何分のいくらかということを考えてくださいね。
「８は１２の何分のいくらか」などの「分数の割合」は、今の指導要領では「小数の割合→百分率→歩合」を習った後に登場します。「比」もそうですね。小学生にとっては、整数倍の世界から一気にジャンプする具体的なイメージのとぼしい世界で、取っつきにくい単元です。
ここではくわしくは触れませんが、次のようなことを頭の中に入れて置いてください。わり算は、計算という側面のほかに、何倍かという割合の考え方をふくんでいる。
・３０は１０の何倍か？…３０÷１０で、３倍。
・１５０円は１００円の何倍か？…１５０÷１００で、１.５倍。
・１００円は３００円の何倍か？…１００÷３００で、１/３、あるいは１/３倍。
※ふつう、「倍」というのははぶく。
８÷１２＝（８÷４）÷（１２÷４）＝２÷３＝２/３。
８÷１２＝８/１２で、これを４でわって約分すると、、８は１２の何倍かが求められ、自動的に１２を１として考えていることになりますね。
ついでに、
「比と比の値」と「比例式」は、「分数の割合」と同じ世界で、小中学生にとっては、整数で考えられる分、理解しやすいようですね。このことについては、また別の機会に。
・その６… 割合の２通りの表し方を考える
割合はなぜ習得が困難なのか？
割合と速さという単元
割合という単元は、速さと同じく習得が難しいということは、前にも申し述べました。速さに関しては､「その３…時間の単位と速さの単位のちがい」をご参照ください。
速さという単元が難しいのは、簡単に言うと次のような理由からだと考えます。
・時間という単位と速さという単位量を考えなければならない。
・「速さ･時間･道のり」の３つの関係を考えなければならない。
・計算が分数計算になる場合が多い。
・速さと時間の単位をそろえなければならない（分速なら時間は分に）。
割合には２通りの表し方がある。
「その５… 分数のかけ算・わり算と分数の割合」では、もとにする量を１として、くらべる量が何分のいくらかという割合の考え方を記しました。ここでは、割合の考え方には２通りあるということで、「比と比の値」と「比例式」について考えてみたいと思います。
割合の表し方には、大きく分けて２種類あります。
１つは、もとにする量を１とする考え方。これは、くらべる量がもとにする量の何倍か､つまり、「わり算の世界」ですね。むろん、何倍かする場合のかけ算も割合ですが、ここでは考えにくい「わり算と割合」を取りあげます。
・３０は１０の何倍か？…３０÷１０で、３倍。
・１５０円は１００円の何倍か？…１５０÷１００で、１.５倍。
・１００円は３００円の何倍か？…１００÷３００で、１/３、あるいは１/３倍。
※ふつう、「倍」というのははぶく。
これらは、意識しなくとも、「１０」、「１００円」、「３００円」という比べる量を１として考えています。
これから簡単に触れる「比の基本的な考え方」は、それに対して、２つの量を比べる時､「２：３」（２たい３）という表し方です。もっとやさしい言葉でいうと、「２と３の割合」です。
こちらは、もとにする量が１ではありません。むろん、１に当たる数や量は考えるのですが､それはもとにする量ではないのです。
たとえば、次のような考え方です。
・姉は３００円、妹は２００円持っています。姉と妹の持っているお金の割合は何と何の割合ですか。（姉と妹の持っているお金の割合を最も簡単な比で表しなさい。）
姉の持っているお金３００円は、１００円×３、妹の持っているお金２００円は、１００円×２と考えます。
つまり、１００円を１として考えると、姉はそれが３つ、妹はそれが２つなので、姉と妹の持っているお金の割合は、３と２の割合、これを比の用語で言うと、「３：２（３たい２）」と言います。言葉が変わるだけで、中味はまったく同じです。
注意する点は、「もとにする量を１」とした場合は、わり算ですぐにもとにする量が出てきますが、こちらの比の場合はそうはいきません。
姉のお金なら、１となる１００円を出したあと、１００円×３＝３００円と計算することです。
「比（何と何の割合）」を使う割合の問題に変えてみます。
・姉と妹２人が持っているお金の合計は５００円です。姉と妹の持っているお金の割合は３と２の割合（３：２）です。姉と妹はそれぞれいくらお金を持っていますか。
姉の持っているお金を３、妹の持っているお金は２。２人の持っているお金の合計は、２＋３で５。
５００円÷５＝１００円。１に当たるのは１００円。１は、姉のお金でも妹のお金でもありません。
姉のお金を出すには､さらに、１００円×３＝５００円と計算します。
割合と比と比例式
一見難しそうに思われますが、この割合の考え方は、「小数の割合・百分率・歩合」の割合の考え方より理解しやすいかもしれませんね。
比は、分数の割合を整数の感覚でとらえたもので、これと比例式を組み合わせて問題を解くと、小中学生にとって考えやすい側面を持っています。
例：
・マグネシウム９ｇを空気中で燃焼させると１５ｇの酸化マグネシウムができる。マグネシウム６ｇを燃焼させると何ｇの酸化マグネシウムができるか。
・分数を使った解法例：
６÷９＝２/３。９ｇを１とすると６ｇは２/３、あるいは、６ｇは９ｇの２/３倍。１５×２/３＝１０（ｇ）。
・比と比例式を使った解法：
９：６＝１５：ｘ。 ３：２＝１５：ｘ。「内項の積＝外項の積」で、２×１５÷３＝１０（ｇ）。
上の２人のお金の問題ですが、次のような場合もあります。こちらは、２００円÷３００円はわりきれませんので、兄の持っているお金は弟の２/３（３分の２）などとしなければなりませんが、比だと、２と３の割合という整数で表すことができます。
・兄は２００円､弟は３００円持っています。姉と妹の持っているお金の割合は何と何の割合ですか。（兄と弟の持っているお金の割合を最も簡単な比で表しなさい。）
１００円を１として考えると、兄はそれが２つ、弟はそれが３つなので、兄と弟の持っているお金の割合は、２と３の割合、これを比の用語で言うと、「２：３（２たい３）」と言います。
すでにお気づきかもしれませんが、１となる１００円は、３００円と２００円、２００円と３００円、それぞれの最大公約数に当たります。
つまり、分数でいうところの約分をしていることになります。
というようなわけで、こういう割合の考え方もあるということで、例を挙げて簡単に触れておくことにしたしだいです。
[参考]:分数の割合と比、比の値。
２：３と比で表すとき、２：３の比の値とは、２は３を１とした時、いくらになるかを表す。比の値は、２/３。
２：３と縦に書き、「：」を「−」に置きかえると考えるとよい。
また、３：２と比で表すとき、３：２の比の値とは、３は２を１とした時、いくらになるかを表す。比の値は、３/２。
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